交流と抵抗 交流の基礎 2

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交流と抵抗 交流の基礎 2 

電磁気の記事は次を参照してください。

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ここでは交流と抵抗の関係について考えていきます。

交流電源と抵抗 $R$ をつないだだけの回路を考えましょう。

電源は $V=V_0\sin \omega t$ で変化するものとします。

キルヒホッフの法則より $V=RI$ 

よって、 $V=V_0\sin \omega t$ を代入して、

$I=\dfrac{V}{R}$

$~~~=\dfrac{(V_0 \sin \omega t)}{R}$ 

$~~~=\dfrac{V_0}{R}\sin \omega t$

 

ここで、 電流の最大値 $I_0=\dfrac{V_0}{R}\:\cdots\cdots\:(\ast)$ とすると、

$I=I_0 \sin \omega t$

 

この場合、抵抗を流れる電流と電圧の間には、コイルやコンデンサーで見られるような位相のずれはありません

 

抵抗における消費電力 $P$ を考えます。

$P=IV$ であるから、 $I=I_0 \sin \omega t$  と $V=V_0\sin \omega t$ より、

 

$P=IV$

$~~~=(I_0 \sin \omega t)(V_0\sin \omega t)$

$~~~=I_0V_0 \sin ^2 \omega t$

$~~~=I_0V_0\dfrac{1-\cos 2\omega t}{2}$

$\cos (\alpha+\beta)=\cos \alpha \cos \beta – \sin \alpha \sin \beta $

$\beta=\alpha$

$\cos (2\alpha)=\cos ^2\alpha – \sin ^2\alpha  $

$~~~~~~~~~=(1-\sin ^2\alpha )-\sin ^2\alpha  $

 

$\sin ^2\alpha = \dfrac{1-\cos 2\alpha }{2}$

$\cos$ の値の時間平均は 0 であると考えられるため、

なぜって、これ足したら 0 ですよね。

平均の消費電力 $\overline{P}$ は、

$\overline{P}=I_0V_0\dfrac{1-\cos 2\omega t}{2} \: \cdots $ $\cos 2\omega t \: \rightarrow \: 0 $ として

 

$~~~=\dfrac{1}{2}I_0V_0$  

 

これを次のように変形します。

 

$\overline{P}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}I_0 \times \dfrac{1}{\sqrt{2}}V_0$

 

ここで

$I_e=\dfrac{1}{\sqrt{2}}I_0$   $V_e=\dfrac{1}{\sqrt{2}}V_0$ 

 

とし、これら $I_e$、$V_e$ を実効値と呼びます。

したがって、交流の消費電力は直流の場合と同様に、次のように表せます。

 

$\overline{P}=I_eV_e$

 

また、$(\ast)$ より、実効値、最大値ともに

$V_0=RI_0$  $V_e=RI_e$    が成り立っています。

まとめ

  • 電流と電圧の最大値 $I_0$   $V_0$

 

  • 実効値 $I_e$   $V_e$ 

    $I_e=\dfrac{1}{\sqrt{2}}I_0$
    $V_e=\dfrac{1}{\sqrt{2}}V_0$

 

  • 消費電力
    実効値を使えば交流の消費電力 $\overline{P}$ は

    $\overline{P}=I_eV_e$

    と示せます。

 

  • オームの法則

    $V_0=RI_0$  $V_e=RI_e$

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