交流とコイル 交流の基礎 3

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交流とコイル 交流の基礎 3

復習

電磁気の記事は次を参照してください。

KoKo物理
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今回は交流電源にコイルを接続した場合について考えていきます。

交流とコイル

ここでは交流とコイルの関係について考えていきます。

コイルは、自己誘導により逆起電力を発生します。
したがって、交流電流はコイルを通りにくくなります。
電源周波数が高いほど、磁束変化が激しくなるためコイルの抵抗成分は大きくなります。この点はコンデンサーとは反対です(こちらの記事参照)。

交流電源とコイル(自己インダクタンス $L$ ) をつないだだけの回路を考えましょう。

電源電圧は $V=V_0\sin \omega t$ で変化するものとします。

 

コイルインダクタンス $L$ 、電流を $I$ として、コイルによる自己誘導起電力 $V$ は

$V=-L\dfrac{\Delta I}{\Delta t}$

と示されます。

 

図の回路において、回路に流れる電流を $I_L$ とするとコイルでは逆起電力であることに注意して、キルヒホッフの法則を考えます。 

 

キルヒホッフの法則とは、任意の閉回路において、

$\sum E = \sum RI$

が成り立つことをいいます。

すなわち、

$V_0\sin \omega t – L\dfrac{\Delta I_L}{\Delta t} = RI_L$

この場合、回路の抵抗 $R$ は 0 と考えられるので、

$V_0\sin \omega t – L\dfrac{\Delta I_L}{\Delta t} = 0 \times I_L $

よって、

$ V_0 \sin \omega t = L\dfrac{\Delta I_L}{\Delta t} $

この $\Delta$ を $\mathrm{d}$ と書き換えてみます。

$ V_0 \sin \omega t = L\dfrac{\mathrm{d} I_L}{\mathrm{d} t} $

これを $\int \mathrm{d}t$ すると、

$$\int V_0 \sin \omega t \:\mathrm{d}t=\int L\dfrac{\mathrm{d} I_L}{\mathrm{d} t} \mathrm{d}t $$

これより、

$-\dfrac{V_0}{ \omega}  \cos \omega t = LI_L + C $

ゆえに、

$I_L=-\dfrac{V_0}{\omega L}\cos \omega t + C’ $ 

電源( $V=V_0 \sin \omega t$ )と比較するために $\cos$ を $\sin$ に書き直します。($C’$ は 0 として)

$-\cos \omega t = \sin(\omega t -\dfrac{\pi}{2})$

$I_L=\dfrac{1}{\omega L} V_0 \sin (\omega t -\dfrac{\pi}{2})=I_0 \sin (\omega t -\dfrac{\pi}{2})$

より、ここで電流の最大値 $I_0=\dfrac{1}{\omega L} V_0$ となります。

位相のずれ

これと、電源電圧の式 $V=V_0 \sin \omega t$ とを比較します。

とくに $\sin$ の中(位相)に注目します。

 

$V=V_0 \sin \omega t$

$I_L=\dfrac{1}{\omega L} V_0 \sin (\omega t -\dfrac{\pi}{2})=I_0 \sin (\omega t -\dfrac{\pi}{2})$

 

そうすると、 コイルを流れる電流 $I_L$ は電源に比べて、位相が $\dfrac{\pi}{2}$ だけ遅れていることに気がつきます。

 

覚え方

Co の電流() は、遅れて(ate)いる。

リアクタンス

ここでオームの法則( $V=RI$ )を思い出してみます。

 

$I=\dfrac{V}{R}$

$I_L=\dfrac{1}{\omega L} V_0 \sin (\omega t -\dfrac{\pi}{2})$

 

これらの式をじっくりと見ます・・・。
そうすると、オームの法則で示される抵抗 $R$ と同じ働きをするものがあることに気がつきます。

すなわち、

$ \dfrac{1}{\omega L} \: \Longrightarrow \:\dfrac{1}{R}$

よって、コイルをつないだ回路の抵抗成分 $X_L$ として

$X_L=\omega L$

とし、この抵抗成分 $X_L$ をリアクタンスと呼ぶことにします。

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まとめ

位相

コイルを流れる電流の位相は、電圧の位相に対して $\dfrac{\pi}{2}$ 遅れている。

これを言い換えると、

コイルにかかる電圧の位相は、コイルを流れる電流の位相に対して $\dfrac{\pi}{2}$ 進んでいる。

とも書けます。

リアクタンス

交流回路におけるコイルの抵抗成分をリアクタンス $X_L$ とよび、

$X_L=\omega L$

で示される。

リアクタンス $X_L$ の値は $\omega$ や $L$ が大きいほど大きくなることがわかります。

$\omega = 2\pi f$ ですから、周波数の大きい電源ほどコイルの抵抗成分は大きくなります。

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次回

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