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ホイートストンブリッジ解説 電位はどうなる?

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ブリッジ回路といわれるものがありますが、今回はワンポイントでこの回路「ホイートストンブリッジ」について解説します。

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ホイートストンブリッジ解説 電位はどうなる?

よくある悩みが、ブリッジ回路における電位計算がわからない・・・とか、なぜブリッジ部分に電流が流れないのかわからない・・・などでしょうか?

以下の記事で詳しくそしてやさしく解説しますのでよろしければご覧ください。

メートルブリッジについてはこちらへ

電磁気 メートルブリッジ
メートルブリッジは基本的にはホイートストンブリッジとほぼ同じです。

ホイートストンブリッジとは

さてホイートストンブリッジという回路ですが、図のようなものを指します。

この回路の目的は、未知の抵抗 $R_x$ の値を精密に測定できるというところにあります。

そして、この回路の面白いところは、$R_3$などの抵抗を調整して、ブリッジ部分(図のCD間)に電流が流れないように する・・ということです。

電流が流れないなら最初から入れなくてもいいのでは?・・と思ったあなた。
このCD間の導線は、「つないでいるけど流れない」が重要であって、決してなくてもいいものではありませんよ。

電流が流れないため、検流計の電圧降下がなく

正確に測定できる!というわけです。
このような考えは電位差計に似ていますね。

電位差計についてはこの記事を!

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なぜ電流が流れないのか

抵抗値を変えることができる抵抗を可変抵抗といいます。要するにボリュームのことです。

図の $R_3$ 抵抗は可変抵抗器です。
この $R_3$ 抵抗を調整してやると、図の CD 間に電流が流れないようにすることができるのです。

では、導線が接続されているのにも関わらず、なぜ電流が流れないのでしょうか?

そのことをイメージするために、図を90°回転させてみましょう。
ついでに、 アースをつけ足して $0\:V$ を考えます。
この時のアースは回路の性質に影響しませんのでご心配には及びません。

単純に基準点をイメージできるようにアースをつけたしました。

ここでCとDの電位を考えます。
CD間に電流が流れないのですから、CとDの電位は同電位です。
すなわち、 $0\:V$ からの電気的な高さが同じだということなんですよ。

この電気的な高さは、世間一般でいう高さ(建物などの高さ)と対比して考えることができますから、次の図のようにイメージできます。

もしこのようにCとDの高さが同じであれば、CDの間には電流は流れないということなのですね。
ホイートストンブリッジとはこのようにCとDが同電位になるように抵抗 $R_3$ を調整するものなのです。

イメージとしては図の導線を水が流れるものとしてみて下さい。
もしCとDの高さが同じであれば、CD間に水は流れませんね。
それと同じです。電流も流れないのです。

また、もしCがDよりも高ければ、水はCからDに向けて流れます。
電流の場合も同様に考えてもOKです。

電位とは

ここで電位についておさらいしましょう。

電位とはざっくり言って、電気的な高さです。
特に $0\:V$ からの高さと考えていただいて結構だと思います。

このブログでは、電位と電場、そして電気力線についてこれでもか!といわんばかりにしつこくやってきたので、いままでご愛読いただいた方には自明でしょう。

しかし、ひょっとして「???」となってしまう方がもし見えましたら、是非次の記事をお読みください。
一番大事なのは基礎です。基礎さえしっかりできていれば、受験物理はあとは自力で何とかなります。

電位とは何か?電位の基礎を超やさしく徹底解説

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ホイートストンブリッジの式を導こう

ではホイートストンブリッジにおいて成り立つ式を考えてみましょう。
大事なのは、この式を覚えることではありません。
なぜこのような式が成立するかを理解することです。

図において、CD間に電流が流れないので、$R_1$ 抵抗と $R_3$ 抵抗を流れる電流は同じです。
これを $I_1$ とします。

次に同様に、$R_2$ 抵抗と $R_x$ 抵抗を流れる電流は同じです。
これを $I_2$ とします。

CとDが同電位ですから、図のAC間とAD間の電圧降下は同じです。
つまり高さ $E$ から同じだけ電位(高さ)が下がるといってもいいでしょう。

そうなると $V=RI$ より、

$R_1I_1=R_2I_2$

そしてCBとDBも同じだけ電圧降下が生じるはずですから、
$R_3I_1=R_xI_2$

この式を辺々割ります。

$\dfrac{R_1I_1}{R_3I_1}=\dfrac{R_2I_2}{R_xI_2}$

そうすると、電流 $I_1$、$I_2$ が割れてなくなりますから、

$\dfrac{R_1}{R_3}=\dfrac{R_2}{R_x}$

が成り立ちます。
ここで、割り算の形よりは掛け算のほうが良い(順番を間違えても答えは合う)ので次のようにします。(推奨)

$R_1R_x=R_2R_3$  図のように「 × のように抵抗を掛け算する」と覚えるとよいでしょう。

何度も言いますがこれだけ覚えてもほとんど役に立ちませんよ。

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電位計算

さて、よくあるホイートストンブリッジにおける「ある点の電位を求めよ」という問題を考えてみます。
電位というものがよくイメージできていないと、電位の計算に??信号が灯ります。

電位とは電気的な高さです。
そのことを念頭に置いて次の問題に取り組んでみましょう。

例題

図のように抵抗を組み合わせてブリッジ回路を作る。
抵抗 $R_1$, $R_2$ の値はそれぞれ、$1\:k\Omega$ と $2\:k\Omega$ である。
また、$R_x$ は未知の抵抗である。
$R_3$ は可変抵抗器で、電池の起電力は $6\:V$ とし内部抵抗は無視できるものとする。

(1) 今、抵抗 $R_3$ を調整して$2\:k\Omega$ としたところ、検流計に電流が流れなくなった。
   (a) この時の $R_x$ の抵抗値を求めよ。

   (b) D点の電位を求めよ。

(2) (1)の状態のままブリッジ間のスイッチを切ってそのままにする
 (c) C点から見たD点の電位を求めよ。

 (b) ブリッジ間のスイッチを切ったまま、可変抵抗器を取りさってCB間が断線した。
    その場合、Cから見たDの電位を求めよ。

答え

(1)

(a) $R_1R_x=R_2R_3$ より数値を代入して、

$1\times R_x=2\times 2 $

$R_x=4 \:k\Omega$

(b) D点の電位はDB間の電圧から計算できる。
  また、AB間は電池の電圧である $6\:V$ に等しい。
      ADの電圧を $V_{AD}$、DBの電圧を $V_{DB}$ とする。

$V_{AD}:V_{DB}=R_2:R_x=R_1:R_3=1:2$

よって、

$V_{DB}=\dfrac{2}{1+2}\times 6=4 \:V$

(2)

(c) CとDは同電位であったが、それはスイッチを切っても変わらない。ゆえに $0\:V$ 

(d)  AC間に電流は流れないため、AとCは同電位。
  A点の電位 $V_A$ は電池の電圧に等しく $6\:V$ 。よってC点も $6\:V$ 

そして、D点の電位 $V_D$ は (1) の (b) より $4\:V$ 。
AからみたDの電位 $V_{AD}$ は $V_{AD}=V_D-V_A=4-6=-2\:V$ 。
したがって、CからみたDの電位は $-2\:V$ となる。

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まとめ

ではおさらいです。ホイートストンブリッジにおいて成り立つ式。
図において、

$R_1R_x=R_2R_3$

ここまで、ホイートストンブリッジに関する式の解説をしましたが、この式だけを丸暗記したところでほとんど役には立ちません。

なぜかをしっかり理解しましょう。
電位についても同様です。では頑張りましょう!

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