物理のエッセンス 力学37番

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物理のエッセンス 力学37番

半径 $R$ の円盤から、半径 $r$ の円盤をくりぬいた場合の重心位置を求めます。

解説

図のように座標を考えます。

ここで、

  • くりぬく前の円盤の重心を O 
  • くりぬいた円盤の重心を A 
  • くりぬいた後の穴の空いた円盤の重心を O’

とします。これらは上図のように $x-y$ 軸をとれば、$x$ 上にのります。

 

 

ここでは、

  • 円盤をくりぬいた後の穴のあいた物体の質量を $M$
  • くりぬいた円盤の質量を $m$

としましょう(下図)。

 

さて、質量 $m$ の小さい円盤と、質量 $M$ の穴の空いた大きな円盤の2つをもとどおりはめると、くりぬいていない円盤になります。

したがって、その重心は O 点にくるはず・・・・というのが戦略です。

 

 

今回は重心公式を用いて考えてみました。

計算をするうえで、重心公式を使うイメージとしては次の図と同じことです。

つまり、

  • 質量 $m$ の物体が A(座標 $R-r$)
  • 質量 $M$ の物体が O’(座標 $x$)
  • それらの重心が O(座標 $R$)

にくる・・・というわけです。

そこで、それぞれの質量を求めるのですが、円盤が均一な材料でできているとすると、質量比は面積比に等しくなります

なぜなら、円盤の材質の密度 、円盤の厚み、面積には次の関係があるからです。

 

質量 = 密度 × 体積 = 密度 × (厚み × 面積)

 

円盤が大きくても小さくても、密度と厚みは同じですから、質量比は面積比に等しくなります。

 

では、質量比を面積比によって求めます。くりぬいた物体の面積は、 $(\pi R^2 -\: \pi r^2)$ です。
よって、

$M:m=(\pi R^2 – \:\pi r^2) : \pi r^2 = (R^2 -\: r^2) : r^2\:\:\cdots\cdots\:(1) $

 

また、それぞれの $x$ 座標は

A ・・・ $R-r$   O ・・・ $R$   O’ ・・・ $x$

であることから、重心公式を活用して、

 

 

 

よって、

  • 重心 $x_G=R$
  • $x_1=(R-r)$
  • $x_2=x$
  • $m_1=m$
  • $m_2=M$

として、

$x_G=\dfrac{m_1x_1+m_2x_2}{m_1+m_2}$

$R=\dfrac{m(R-r)+Mx}{m+M}$

 

これから

$x=R + \dfrac{m}{M}r$

 

式(1)から $\dfrac{m}{M}=\dfrac{r^2}{R^2-r^2}$ として代入します(どのように代入してもOKです)。

よって、

$x=R + \dfrac{r^3}{R^2-r^2}$

を得ます。

 

答えかたですが、この問題では

直線AO上で O より右に $\dfrac{r^3}{R^2-r^2}$ の位置

とでもしておきましょう。

 

動画で解説

コメント

  1. へそ より:

    最後r掛け忘れてませんか?

    • koko lainen より:

      確かに!
      ご指摘ありがとうございます。

      • へそ より:

        このサイトに非常に助けられています。
        これからも頑張ってください‼︎

        • koko lainen より:

          ありがとうございます。
          これからもよろしくお願いいたします!