【波動ワンポイント】2層の場合における、屈折による見かけの深さ

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2層の場合における、屈折による見かけの深さ

多層構造における見かけの深さの問題について考えてみましょう。

図にあるような2層からなる状態を考えます。

たとえば、水の上に油などが層をなして浮いているような状態です。

動画解説

ワンポイント波動解説 2層以上の屈折による見かけの深さ

考えてみよう

このとき、ほぼ真上から見た場合の、見かけの深さ $L$ について考えることにします。

このとき、実際は $d_1+d_2$ の深さに光源があるにも関わらず、$L$ の深さしかないように感じてしまいます。

屈折率は、$1<n_1<n_2$ とします。

では、まず下の $n_1$、$n_2$ の2層についての屈折の式をたてます。

この場合、屈折の法則から、次の式が成り立ちます。

$$n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2$$

 

この式のたてかたについては以下の記事を読んでください。

YouTube 動画解説 波動基礎
YouTube 動画解説 波動基礎

 

ここで、ほぼ真上から見ているという条件から、次の近似が成り立つとします。

$$\sin\theta \fallingdotseq \tan\theta$$

よって、

$$n_1\tan\theta_1 \fallingdotseq n_2\tan\theta_2$$

ここで、$\tan\theta_1=\dfrac{a}{d}$ 、$\tan\theta_2=\dfrac{a}{d_2}$ だから

$$n_1\dfrac{a}{d}=n_2\dfrac{a}{d_2}$$

より、

$$d=\dfrac{n_1}{n_2}d_2\:\:\cdots\cdots (1)$$

つづいて、空気と $n_1$ 層については、同様に次の図のように考えて

空気の屈折率が 1 なので、次の式が成り立ちます。

$$1\times\sin\phi=n_1\sin\theta_1$$

同じくほぼ真上から見ているため、$\sin\theta \fallingdotseq \tan\theta$ が成り立つとします。
ゆえに、

$$1\times\tan\phi \fallingdotseq n_1\tan\theta_1$$

ここで、$\tan\phi=\dfrac{b}{L}$ 、$\tan\theta_1=\dfrac{b}{d_1+d}$ だから

$$\dfrac{b}{L}=n_1\dfrac{b}{d_1+d}$$

$$L=\dfrac{1}{n_1}(d_1+d)$$

ここへ、(1) を代入して、

$$L=\dfrac{d_1}{n_1}+\dfrac{d_2}{n_2}$$

となり、見かけの深さが得られます。


私のオススメは、物理のエッセンス→良問の風→名問の森 です。

 

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