物理のエッセンス 力学8番

物理のエッセンス 力学8番

問題

図のような斜面上で斜面に対して仰角30°でボールを打ち上げます。斜面と衝突するまでの時間と、その距離 $l$ を求めます。

図 

考え方

動画解説

テキスト解説

斜面に平行な方向と垂直な方向で考える方法を紹介します。

図のように $x-y$ 軸を取ります。

そして、重力加速度も同じように分解して考えます。

つまり、$x$ 軸方向には $-g\cos 30^\circ $、$y$ 軸方向には $-g\sin 30^\circ $ の加速度運動をすると考えます。

したがって、物体が斜面に衝突するということは、 $y=0$ であると考えて、
$y=v_0t+\dfrac{1}{2}at^2$  より、

\begin{eqnarray}
0&=&(v_0\sin 30^\circ )t+\dfrac{1}{2}(-g\cos 30^\circ )t^2\\\\
\end{eqnarray}

より、

\begin{eqnarray}
\left(\dfrac{1}{2}v_0\right)t+\dfrac{1}{2}\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}g\right)t^2=0\\\\
\dfrac{1}{2}t\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}gt-v_0\right)=0
\end{eqnarray}

よって、

$$t=\dfrac{2v_0}{\sqrt{3}g}$$

また、$x$ 方向へも加速運動することに注意して同様に、
$x$ 方向へは、

\begin{eqnarray}
l&=&(v_0\cos 30^\circ )t+\dfrac{1}{2}(-g\sin 30^\circ )t^2\\\\
&=&\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}v_0\right)\left(\dfrac{2v_0}{\sqrt{3} g}\right)+\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{-g}{2}\right)\left(\dfrac{2v_0}{\sqrt{3}g}\right)^2\\\\
&=&\dfrac{2v_0^2}{3g}
\end{eqnarray}

よって、$l=\dfrac{2v_0^2}{3g}$

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