物理のエッセンス力学編７番

$v-t$ グラフを使って考えてみましょう。

物理のエッセンス力学編７番

問題概要

物理のエッセンス力学編6番において、

物体を水平から 30° 上向きに初速 $v_0$ で投げ出す場合、最初に地面に落下するまでに飛ぶ水平距離 $x$ を求めよ。

解説

水平投射です。鉛直方向と水平方向に分けて考えます。

• 鉛直方向の初速度 ･･･ $v_0\sin 30^{\circ}=\dfrac{1}{2}v_0$
• 水平方向の初速度 ･･･ $v_0\cos 30^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}v_0$

計算式

今回の問題に関しては式を用いて計算したほうがスッキリ・ラクです。
何事も場合による･･･ということでしょうか。

でも $v-t$ グラフの考え方も重要ですよ。

計算

出発点が原点で、変位が $-H$ となることさえわかれば簡単です。

$-H=\dfrac{1}{2}v_0 t -\dfrac{1}{2}gt^2$

より、  $t>0 $　に注意して　解の公式より、

$t=\dfrac{v_0 + \sqrt{v^2_0 + 8gH}}{2g}$

水平方向には $v_0\cos 30^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}v_0$ で等速運動だから

$x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}v_0 \times t$

$t$ を代入して答えを得ます。

 

答え

$x=\dfrac{\sqrt{3}v_0}{4g} (v_0 + \sqrt{v^2_0 + 8gH})$

$v-t$ グラフでも考えてみます。
こんな考え方もあるのか、という参考にしてください。

他に応用できることもあるでしょう。

$v-t$ グラフ

鉛直方向

$v-t$ グラフを描いてみます。
鉛直方向には初速度 $\dfrac{1}{2}v_0$ です。

鉛直上向きを正としてみました。

この $v-t$ グラフの傾きの大きさもやはり $g$ です。

そうすると、グラフの傾きが $g$ であるから、投げ出してから最高点に到達するまでにかかる時間 $t_0$ は、

$\mathrm{グラフの傾きの大きさ}=g=\dfrac{\dfrac{1}{2}v_0}{t_0}=\dfrac{v_0}{2t_0}$

$t_0=\dfrac{v_0}{2g}\: \cdots \cdots (1) $

となります。

図の水色の三角形は合同です。
三角形の面積は変位を示し、物体が手元に戻るとき変位は 0 になるからです。

したがって、オレンジの台形面積で示される、図の $T$ の時間で落下する距離がビルの高さ $H$ と等しくなっているはずです。 

グラフの傾きが $g$ のため、物体が投げ出されてから時間 $t$ たったときの物体の鉛直方向の速度 $v_y$ は $gT$ だけ変化しています。

したがって

$v_y = \dfrac{1}{2}v_0 \: -\: gt < 0$  

です。

これらのことから、図のオレンジの時間 $T$ がわかります。

$T=t \:-\: 2t_0=t\:- \: 2\times \dfrac{v_0}{2g} =t \:- \: \dfrac{v_0}{g} $

$(1)$ より、

$t_0=\dfrac{v_0}{2g}$

オレンジの台形の面積を計算します。

$\mathrm{オレンジの台形の面積}=H$

$H=\left \{ \left |-\dfrac{1}{2}v_0 \right |  + |v_y|   \right \}\times  T \times \dfrac{1}{2}$

$~~~~=\left \{\dfrac{1}{2}v_0 +\left (- \dfrac{1}{2}v_0 \: +\: gt \right )  \right \}\times  \left (t \:- \: \dfrac{v_0}{g} \right ) \times \dfrac{1}{2}$

これより、

$gt^2-v_0t -2 H=0$

$t>0 $　に注意して、解の公式より、

$t=\dfrac{v_0 + \sqrt{v^2_0 + 8gH}}{2g}$

水平方向

水平方向には $v_x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}v_0$ で等速運動しますから、その距離 $x$ は

$x=v_x t=v_0 t$

ここで、 $t=\dfrac{v_0 + \sqrt{v^2_0 + 8gH}}{2g}$　だから、

$x=\left (\dfrac{\sqrt{3}}{2}v_0 \right )\times \left (\dfrac{v_0 + \sqrt{v^2_0 + 8gH}}{2g} \right )$

$~~~=\dfrac{\sqrt{3}v_0}{4g} (v_0 + \sqrt{v^2_0 + 8gH})$

答え　　$x=\dfrac{\sqrt{3}v_0}{4g} (v_0 + \sqrt{v^2_0 + 8gH})$