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相対加速度 物理のエッセンス力学編 14番

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物理のエッセンス力学編 14番

問題

長さ $125\:m$ の列車と、自動車(大きさが無視できる)の競争です。

図のようにスタートしますが、列車と自動車は表のように、初速度と加速度がわかっています。

  初速度 加速度
列車 $0\:m/s$ $3\:m/s^2$
自動車 $20\:m/s$ $1\:m/s^2$
    このとき、
  • 列車と車の、前方への最大車間距離を求めましょう。

  • 列車が車を、完全に抜き去るのに要する時間 を求めましょう。

それでは、まず相対加速度から考えていきます。

相対加速度

相対速度と同じように、加速度も相対加速度を考えることができます。

相対加速度が成り立つ理由

Aが速度 $v_A$ 、Bが速度 $v_B$ で運動しているとき、
Bに対するAの相対速度 $v_{BA}$ は、

$$v_{BA}=v_A-v_B$$

で示されます。

相対速度の式の両辺を、時間微分 $\dfrac{d}{dt}$ します。
 もうちょっとくわしく・・は補足へ

$$\dfrac{d}{dt}v_{BA}=\dfrac{d}{dt}v_A-\dfrac{d}{dt}v_B$$

ここで 加速度を、それぞれ $a_{BA}$ 、$a_A$ 、$a_B$ とすると、$a=\dfrac{dv}{dt}$ なので、

$$a_{BA}=a_A-a_B$$

ですね。

したがって、相対速度と同じように、加速度ベクトルの引き算をすればよいことになります。

この問題は相対加速度を考えることで非常に容易になります。

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列車からと車の車間距離

列車から見た自動車の相対加速度 $a_{TA}$ は、列車の加速度 $a_T$ 、自動車の加速度を $a_A$ とすれば、

$$a_{TA}= a_A-a_T=1-3=-2\:[m/s^2]$$

です。

よって、列車から見ると自動車は相対的な初速度 $20\:[m/s]$ で出発し、相対加速度 $-2\:[m/s^2]$ で運動しているように見えます。

相対初速度

$v_{0TA}=v_{0A}-v_{0T}=20-0=20\:[m/s]$

つまり、列車は静止している・・・ということです。 ← これ大事

列車の人から見ると、自動車が鉛直投射の球のように、飛び出して戻ってくるように見えます。
ちなみに、相対加速度は、 $-2\:[m/s^2]$ で一定です。

次の図と同じイメージです。

ということは、$v^2-v_0^2=2ax$ において、$a=-2\:[m/s^2]$ 、$v_0=20\:[m/s]$、 $v=0\:[m/s]$ の時の $x$ を求めればよいことになります。

\begin{eqnarray}
v^2-v_0^2&=&2ax\\\\
0^2-20^2&=&2\times(-2)x\\\\\\
x=100\:[m]
\end{eqnarray}

となり、答えは $100\:[m]$ です。

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$v-t$ グラフを使えば超簡単!

$v-t$ ブラフを使えば、もっと簡単に求められます。

列車を停止しているとしたときの、図のグラフで、傾きは自動車の相対加速度を示していますから、このグラフの傾きは $-2$ です。

自動車の相対初速度は $20\:[m/s]$ ですから、グラフの切片は $20$ です。

$t$ 軸を横切る時間 $t_h$ は、グラフの傾きが加速度ですから、 $\dfrac{20}{t_h}= |-2|$ より、$t_h=10$ となります。

一番離れているところは、投げ上げの最高点なので、その距離は図の三角形面積を求めればよいことになります。

したがって、$x=\dfrac{10\times 20}{2}=100 \:[m]$  という答えになります。


$v-t$ グラフの活用については、次の記事をぜひお読みください。

v-t グラフの活用 反発問題のテクニック解説
「落体の跳ね返りによる総運動時間を求める」という問題がありますが、$v-t$ グラフを使うことで簡単に解くこともできます。 ここではその方法や、$v-t$ グラフ一般について解説しています。
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列車が車を抜き去るのに要する時間

では次に、列車が自動車を抜き去るのに要する時間 $t$ を求めます。

これも、先ほどと同じく、列車の視点から見ます。

そうすると、鉛直投げ上げした球が、地面のさらに下、$-125\:[m]$ のところまで落ちる時間を求めることと同じです。(自動車の大きさは $0$ です。念のため)

相対加速度はやはり、$-2\:[m/s^2]$ で一定です。

そのため、$x=v_0t+\dfrac{1}{2}at^2$ の式を使えば、

$$-125=20t+\dfrac{1}{2}(-2)t^2$$

を解けばおしまいです。

よって、

$$t^2-20t-125=0$$

より、

$$(t+5)(t-25)=0$$

$t= -5, \: 25 $

となり、$t>0$ であることから、答えは、$25\:[s]$ となります。

$v-t$ グラフを使ってみると

これも $v-t$ グラフを使うことで解くことができます。

つまり、図のグラフと $t$ 軸で囲まれた面積から計算される変位量が $-125$ であればよいことになります。

$t=10$ 最高点へ、$t=20$ で元に戻ります(青の三角形は合同になる)。

よって、具体的には、$t=20$ のところから、時間 $T$ かかるして、図の台形の面積が $125$ になればよいことになります。 

ここで、台形を四角形と三角形に分けてみると、三角形の高さは、傾きが $|-2|$ であることから、$2T$ となります。

したがって、台形の面積は

$$T\times 20 + T\times (2T)=125 $$

$$(T-5)(T+25)=0$$

より、$T=5 \;,\:-25$ を得ます。

ここで $T>0$ より、$T=5$ です。

よって、最初からの時間は、$20+T=25\:[s]$ となります。

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補足

相対加速度について考えます。

物体Aの速度が、$\Delta t$ 間で $v_A(t)$ から $v_A(t+\Delta t)$ へ変化したとします。
そうすると、加速度 $a_A(t)$ は、

$a_A(t)=\dfrac{v_A(t+\Delta t)-v_A(t)}{\Delta t}\:\:\:\cdots \cdots (1)$

同様に、物体Bについて、$\Delta t$ 間で速度が $v_B(t)$ から、$v_B(t+\Delta t)$ へと変化しました。加速度 $a_B(t)$ は、

$a_B(t)=\dfrac{v_B(t+\Delta t)-v_B(t)}{\Delta t}\:\:\:\cdots \cdots (2)$

ここで、$ (1)-(2)$ としてみると、

\begin{eqnarray}
a_A(t)-a_B(t)&=&\dfrac{v_A(t+\Delta t)-v_A(t)}{\Delta t}-\dfrac{v_B(t+\Delta t)-v_B(t)}{\Delta t}\\\\
&=&\dfrac{v_A(t+\Delta t)-v_B(t+\Delta t)}{\Delta t}-\dfrac{v_A(t)-v_B(t)}{\Delta t}\\\\
\end{eqnarray}

ここで、

$v_{BA}(t)=v_A(t)-v_B(t)$

$v_{BA}(t+\Delta t)=v_A(t+\Delta t)-v_B(t+\Delta t)$

より、

\begin{eqnarray}
a_A(t)-a_B(t)&=&\dfrac{v_{BA}(t+\Delta t)}{\Delta t}-\dfrac{v_{BA}(t)}{\Delta t}\\\\
&=&\dfrac{v_{BA}(t+\Delta t)-v_{BA}(t)}{\Delta t}=a_{BA}(t)\\\\
\end{eqnarray}

$\lim \Delta t \rightarrow 0$ とすれば、以上は微分定義そのものです。

そして、相対加速度も相対速度と同様に「引けばよい」

$a_{BA}(t)=a_A(t)-a_B(t)$

ということです。引く順番には注意してください。

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