力率と消費電力　交流の基礎7

今回は力率について解説します。高校物理ではあまり扱いませんが、理解しておきたいところです。

交流回路ではコイル・コンデンサーでは電力を消費しません。
したがって、回路全体の消費電力は抵抗におけるもので、

 

RLC直列回路では

$\bar{P}=I_e{V}_e\cos \varphi =R{I_e}^2$

$Z=\sqrt{R^2+{(\omega L-{\displaystyle \frac{1}{\omega C}})}^2}$

 

$\cos \varphi ={\displaystyle \frac{R}{Z}}={\displaystyle \frac{R}{\sqrt{R^2+{(\omega L-{\displaystyle \frac{1}{\omega C}})}^2}}}$

$\cos \varphi ={\displaystyle \frac{V_{R0}}{V_0}}={\displaystyle \frac{V_{Re}}{V_e}}$

 

RLC並列回路では

$\bar{P}=I_e{V}_e\cos \varphi ={\displaystyle \frac{{V_e}^2}{R}}$

$Z={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{R^2}}+{(\omega C-{\displaystyle \frac{1}{\omega L}})}^2}}}$

 

$\cos \varphi ={\displaystyle \frac{Z}{R}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{R}}}{\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{R^2}}+{(\omega C-{\displaystyle \frac{1}{\omega L}})}^2}}}$

$\cos \varphi ={\displaystyle \frac{I_{R0}}{I_0}}={\displaystyle \frac{I_{Re}}{I_e}}$

 

$\cos \varphi$ を力率と呼びます。 $(0\leqq \cos \varphi \leqq 1)$
RLC直列回路と並列回路では力率の求め方が違うので注意。

 

$\bar{P}=I_e{V}_e\cos \varphi$　を有効電力と呼び、単位には W（ワット）を用います。

それに対して、交流電圧の実効値と電流の実効値の積 $I_e{V}_e$ を皮相電力といいます。
皮相電力は単に名目上の電力であり、実際の消費電力ではありません。そのため、単位に W （ワット）は使わず、VA（ボルトアンペア）が使われます。

交流の式はエグいですが、覚えなければならないことはあまりありません。

 

電磁気の記事は次を参照してください。

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力率と消費電力　交流の基礎7

 

コイル・コンデンサーにおける消費電力の時間平均は 0 です。

参考記事

3分でわかる！交流の消費電力について

交流の消費電力については素子が抵抗、コイル、コンデンサーで違います。 コイルとコンデンサーの場合消費電力の時間平均は0ですから、基本的にコイルやコンデンサーでは電力を消費しません。電験三種の理論対策にも

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したがって交流回路では基本的に、抵抗における消費電力についてのみ考えれば良いことになります。

以下、電源電圧の最大値を $V_0$ 　実効値を $V_e$ で示します。
また、各素子の電圧・電流のそれぞれの最大値にも各素子を示す記号に添え字 ${}_0$ で、実効値は ${}_e$ で示します。
（$R$ は抵抗、$L$ はコイル、$C$ はコンデンサーを示します）

例　コイルの電圧最大値 $V_{L0}$　実効値 $V_{Le}$
       　　　　電流最大値 $I_{L0}$　実効値 $I_{Le}$　

RLC直列回路

全体の電流　$I=I_0\sin \omega t$

全体の電圧　$V=V_0\sin (\omega t+\varphi )$

抵抗にかかる電圧　$V_R=V_{R0}\sin \omega t$

コイルにかかる電圧　$V_L=V_{L0}\sin (\omega t+{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

コンデンサーにかかる電圧　$V_C=V_{C0}\sin (\omega t-{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

$\tan \varphi ={\displaystyle \frac{\omega L-\frac{1}{\omega C}}{R}}$

 

RLC直列 ･･･ 計算

全体の電流と電圧から計算すると

全体の電流　$I=I_0\sin \omega t$

全体の電圧　$V=V_0\sin (\omega t+\varphi )$

$P=IV$

$=I_0\sin \omega t\times V_0\sin (\omega t+\varphi )$

$=I_0{V}_0\sin \omega t(\sin \omega t\cos \varphi +\cos \omega t\sin \varphi )\cdots \cdots$　補

$=I_0{V}_0({\sin }^2\omega t\cos \varphi +\sin \omega t\cos \omega t\sin \varphi )$

$=I_0{V}_0({\displaystyle \frac{1-\cos 2\omega t}{2}}\cos \varphi +{\displaystyle \frac{\sin 2\omega t}{2}}\sin \varphi )\cdots \cdots$　補

 

時間平均を取るわけだから、 $\cos 2\omega t=0$ 　　$\sin 2\omega t=0$　となる。
したがって、

$\bar{P}=I_0{V}_0{\displaystyle \frac{1}{2}}\cos \varphi$

$={\displaystyle \frac{I_0}{\sqrt{2}}}{\displaystyle \frac{V_0}{\sqrt{2}}}\cos \varphi$

$=I_e{V}_e\cos \varphi$

 

つまり、この回路全体の消費電力は

$\mathrm{回}\mathrm{路}\mathrm{全}\mathrm{体}\mathrm{の}\mathrm{消}\mathrm{費}\mathrm{電}\mathrm{力}＝(\mathrm{全}\mathrm{体}\mathrm{の}\mathrm{電}\mathrm{圧}\mathrm{の}\mathrm{実}\mathrm{効}\mathrm{値})\times (\mathrm{全}\mathrm{体}\mathrm{の}\mathrm{電}\mathrm{流}\mathrm{の}\mathrm{実}\mathrm{効}\mathrm{値})\times \cos \varphi$

という値になります。この $\cos \varphi$ を力率と呼んでいます。

 

　コイルとコンデンサーでは電力を消費しないため、回路全体での電力は抵抗のみで消費されます。

 

RLC直列 ･･･ 図から

全体の消費電力を考えるには、コイルとコンデンサーの消費電力は 0 のため、抵抗のみについて考えればよい。
抵抗での消費電力は

$\bar{P}=I_{Re}{V}_{Re}$

$V_{Re}=R{I}_{Re}$　だから

$=R{I_{Re}}^2$

抵抗を流れる電流は回路全体で共通だから　$I_{Re}=I_e$ 
よって、

$\bar{P}=R{I_e}^2$

 

また、

抵抗の消費電力のみを考えるわけだから、抵抗にかかる電圧 $V_{Re}$ を考え、

図から、 $V_{R0}=V_0\cos \varphi \cdots \cdots (\ast )$　したがって、 $V_{Re}=V_e\cos \varphi$　となります。
（ $-\frac{\pi }{2}\leqq \varphi \leqq \frac{\pi }{2}$　よって、 $0\leqq \cos \varphi \leqq 1$ ）

よって、

$\bar{P}=I_{Re}{V}_{Re}$

$=I_{Re}{V}_e\cos \varphi$

直列回路のため、抵抗を流れる電流は回路全体で共通だから $I_{Re}=I_e$ 

$\bar{P}=I_e{V}_e\cos \varphi$

 

 

RLC直列 ･･･ 力率

力率 $\cos \varphi$ については式 $(\ast )$ の 　 $V_{R0}=V_0\cos \varphi$　より、

$\cos \varphi ={\displaystyle \frac{V_{R0}}{V_0}}$

$V_0=Z{I}_0$     $V_{R0}=R{I}_{R0}=R{I}_0$　だから、

$\cos \varphi ={\displaystyle \frac{R{I}_0}{Z{I}_0}}={\displaystyle \frac{R}{Z}}$

RLC直列回路のインピーダンス $Z$ を代入する。　$Z=\sqrt{R^2+{(\omega L-{\displaystyle \frac{1}{\omega C}})}^2}$

$\cos \varphi ={\displaystyle \frac{R}{Z}}={\displaystyle \frac{R}{\sqrt{R^2+{(\omega L-{\displaystyle \frac{1}{\omega C}})}^2}}}$

$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq \varphi \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$　　　 $0\leqq \cos \varphi \leqq 1$

 

RLC並列回路

全体の電流　$I=I_0\sin (\omega t+\varphi )$

全体の電圧　$V=V_0\sin \omega t$

$\tan \varphi ={\displaystyle \frac{\omega C-{\displaystyle \frac{1}{\omega L}}}{\frac{1}{R}}}$

 

 

 

RLC並列 ･･･ 計算

計算をしてみると、

$P=IV$

$=I_0\sin (\omega t+\varphi )\times V_0\sin \omega t$

$=I_0{V}_0(\sin \omega t\cos \varphi +\cos \omega t\sin \varphi )\sin \omega t\cdots \cdots$　補

$=I_0{V}_0({\sin }^2\omega t\cos \varphi +\sin \omega t\cos \omega t\sin \varphi )\cdots \cdots$　補

$=I_0{V}_0({\displaystyle \frac{1-\cos 2\omega t}{2}}\cos \varphi +{\displaystyle \frac{\sin 2\omega t}{2}}\sin \varphi )$

時間平均を取るわけだから、 $\cos 2\omega t=0$ 　　$\sin 2\omega t=0$　となる。
これはRLC直列回路の場合と同じ式の形になり、

$\bar{P}=I_0{V}_0{\displaystyle \frac{1}{2}}\cos \varphi$

$={\displaystyle \frac{I_0}{\sqrt{2}}}{\displaystyle \frac{V_0}{\sqrt{2}}}\cos \varphi$

$=I_e{V}_e\cos \varphi$

 

RLC並列 ･･･ 図から

コイルとコンデンサーでの消費電力は 0 だから、抵抗だけを考えればよい。
抵抗での消費電力は、

$P=I_{Re}{V}_{Re}$ 　　　ここで　$I_{Re}={\displaystyle \frac{V_{Re}}{R}}$　より

$={\displaystyle \frac{{V_{Re}}^2}{R}}$

並列回路のため、各素子にかかる電圧は共通で、  $V_{Re}=V_e$　であるから、

 

$\bar{P}={\displaystyle \frac{{V_e}^2}{R}}$

 

 

また、

抵抗の消費電力のみを考えるわけだから、抵抗に流れる電流 $I_{Re}$ を考え、

図から、 $I_{R0}=I_0\cos \varphi \cdots \cdots (\ast \ast )$　したがって、 $I_{Re}=I_e\cos \varphi$　となります。
（ $-\frac{\pi }{2}\leqq \varphi \leqq \frac{\pi }{2}$　よって、 $0\leqq \cos \varphi \leqq 1$ ）

 

よって、

$\bar{P}=I_{Re}{V}_{Re}$

$=I_e{V}_{Re}\cos \varphi$

並列回路のため、抵抗にかかる電圧は回路全体で共通だから $V_{Re}=V_e$ 　$V_{R0}=V_0$

$\bar{P}=I_e{V}_e\cos \varphi$

RLC並列 ･･･ 力率

力率 $\cos \varphi$ については式 $(\ast \ast )$ の 　$I_{R0}=I_0\cos \varphi$　より、

$\cos \varphi ={\displaystyle \frac{I_{R0}}{I_0}}$

$I_0={\displaystyle \frac{V_0}{Z}}$   　　　$I_{R0}={\displaystyle \frac{V_{R0}}{R}}={\displaystyle \frac{V_0}{R}}$　だから、

$\cos \varphi ={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{V_0}{R}}}{{\displaystyle \frac{V_0}{Z}}}}={\displaystyle \frac{Z}{R}}$

RLC直列回路のインピーダンス $Z$ を代入する。$Z={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{R^2}}+{\left(\omega C–{\displaystyle \frac{1}{\omega L}}\right)}^2}}}$

$\cos \varphi ={\displaystyle \frac{Z}{R}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{R}}}{{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{R^2}}+{\left(\omega C–{\displaystyle \frac{1}{\omega L}}\right)}^2}}}}}$

$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq \varphi \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$　　　 $0\leqq \cos \varphi \leqq 1$

 

補   三角関数

 

$\sin (a\pm b)=\sin a\cos b\pm \cos a\sin b$

$\cos (a\pm b)=\cos a\cos b\mp \sin a\sin b$

 

$a=b$ とすると、

$\sin (a+a)=\sin a\cos a+\cos a\sin a$

$\sin 2a=2\sin a\cos a$

$\sin a\cos a={\displaystyle \frac{\sin 2a}{2}}$

 

$\cos (a+a)=\cos a\cos a–\sin a\sin a$

$\cos 2a={\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a$

$=(1–{\sin }^{2}a)–{\sin }^{2}a$

$=1–2{\sin }^{2}a$

${\sin }^{2}a={\displaystyle \frac{1-\cos 2a}{2}}$

 

$\cos 2a={\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a$

$={\cos }^{2}a-(1–{\cos }^{2}a)$

$=2{\cos }^{2}a-1$

${\cos }^{2}a={\displaystyle \frac{1+\cos 2a}{2}}$