共振 交流の基礎8

交流回路の共振周波数 $f_0$ は、RLC直列・並列回路ともに次の式で示されます。

    $f_0 = \dfrac{\omega_0}{2\pi} = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$

コイルインダクタンス $L$  コンデンサー電気容量 $C$

共振角周波数(角振動数) $\omega_0\:\: (=2\pi f_0) $

 

電磁気の記事は次を参照してください。

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共振 交流の基礎8

RLC直列共振

RLC直列回路を考えます。
交流電源の電圧の周波数が共振周波数 $f_0$ のとき、回路に最大の電流が流れます。これが直列共振と呼ばれる現象です。

この共振周波数 $f_0$ は次の式で示されます。

    $f_0 = \dfrac{\omega_0}{2\pi} = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$

コイルインダクタンス $L$  コンデンサー電気容量 $C$

共振角周波数(角振動数) $\omega_0=2\pi f_0$

 


 

これはRLC直列回路のインピーダンスから理解できます。

直列回路の場合の回路のインピーダンス $Z$ は次の式で示されます。(参照記事

$ Z = \sqrt{ R^2+\left( \omega L \:- \dfrac{1}{\omega C }  \right)^2 }$

このインピーダンスとはRLC直列回路における抵抗を示しています( 単位 $\Omega$ )。

また、回路全体の電圧・電流の最大値を $V_0$ 、$I_0$ とした場合、回路のオームの式から、

$I_0=\dfrac{V_0}{Z}$

したがって、 $Z$ 最小のとき回路の電流が最大になることがわかります。

$R$ が一定であるとき、$Z$ が最小になるのは、

$\left( \omega L \: – \dfrac{1}{\omega C }  \right)=0 $

のときです。

 

これは次のベクトル図で示した状態を意味しています。

$\omega L$ と $\dfrac{1}{\omega C}$ が打ち消しあい、
力率は $\cos\phi=\cos 0 = 1 $ で最大になります。 

このときRLC直列回路のインピーダンス $Z$ は $R$ に等しい。
 (グラフは概略です)

 

これは見かけ上、コイルとコンデンサーが短絡しているように見えます。

 

  

 

ここで、共振時の $\omega$ を $\omega_0$ と書き換えて、

$\omega_0 L = \dfrac{1}{\omega_0 C }$

よって、

${\omega_0}^2 =\dfrac{1}{LC}$

$\omega_0 =\dfrac{1}{\sqrt{LC}}$

ここで $\omega_0 = 2\pi f_0$ だから

$\omega_0 = 2\pi f_0 = \dfrac{1}{\sqrt{LC}}$

ゆえに、

$f_0 = \dfrac{\omega_0}{2\pi} = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$

共振周波数 $f_0$ のとき、インピーダンスは $R$ で最小。
全体を流れる電流の実効値 $I_e$ は最大になります。(グラフは概略です)

 

 

もしも、$R$ が 0 とみなせるようなときに、電源電圧の周波数が $f_0$ であれば、回路に非常に大きな電流が流れることになります。

 

 

 

 

 

 (グラフは概略です)

 

これは左図で示されます。抵抗 $R$ が 0 なのでインピーダンスが 0 になっています。

 

等速円運動や単振動は $\omega$ や $f$ などを理解するのに重要な単元です。
必要なら、もう一度復習をしておきましょう。

 

RLC並列共振

RLC並列回路を考えます。
この場合も、共振現象が生じます。このとき、交流電源の電圧の周波数が共振周波数 $f_0$ のとき、全体を流れる電流が最小になります。これが並列共振と呼ばれる現象です。

この共振周波数 $f_0$ は次の式で表されます。

    $f_0 = \dfrac{\omega_0}{2\pi} = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$

コイルインダクタンス $L$  コンデンサー電気容量 $C$

共振角周波数(角振動数) $\omega_0=2\pi f_0$

式の形は直列共振の場合と全く同じですね。


 

これもRLC並列回路のインピーダンスから理解できます。

並列回路の場合の回路のインピーダンス $Z$ は次の式で示されます。(参照記事

$ Z = \dfrac{1}{\sqrt{ \dfrac{1}{R^2} + \left( \omega C \:- \dfrac{1}{\omega L }  \right)^2 }}$

このインピーダンスとはRLC並列回路における抵抗を示しています( 単位 $\Omega$ )。

このとき、$R$ が一定である場合、 $\left( \omega C \: – \dfrac{1}{\omega L } \right) = 0 $ のときに $Z$ は最大で $R$ になります。

これは次のベクトル図で示した状態を意味しています。

$\omega C$ と $\dfrac{1}{\omega L}$ が打ち消しあっています。

 力率は $\cos\phi=\cos 0 = 1 $ で最大になります。 

このときのインピーダンス $Z$ は $R$ です。
 (グラフは概略です)

 

このときコイルとコンデンサーは
 全体から見ると断線しているように見えます。

 

   

このとき、コイルとコンデンサーの両端の電位は電源の周波数にしたがって変動し、コイルとコンデンサーで作る閉回路では振動電流が流れて、電気振動という現象が生じます。電気振動についてはこちらで詳しく解説します。

 

 

また、回路全体の電圧・電流の最大値を $V_0$ 、$I_0$ とした場合、オームの式から、

$I_0=\dfrac{V_0}{Z}$

したがって、 $\left( \omega C \: – \dfrac{1}{\omega L } \right) = 0 $ のとき $Z$ 最大で $R$ になり、回路全体を流れる電流が最小になります。(グラフは概略です)

よって、

$\left( \omega L \: – \dfrac{1}{\omega C }  \right)=0 $

において、$\omega$ を $\omega_0$ と書き換えて、

$\omega_0 L = \dfrac{1}{\omega_0 C }$

よって、

${\omega_0}^2 =\dfrac{1}{LC}$

$\omega_0 =\dfrac{1}{\sqrt{LC}}$

ここで $\omega_0 = 2\pi f_0$ だから

$\omega_0 = 2\pi f_0 = \dfrac{1}{\sqrt{LC}}$

ゆえに、並列共振周波数は

$f_0 = \dfrac{\omega_0}{2\pi} = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$

 

 

 

特に、並列に接続された抵抗のない LC並列回路では、電源電圧の周波数が $f_0$ になれば、回路のインピーダンスが $\infty$ になるため、回路に電流は流れなくなります。

 

 

(グラフは概略です)

 

 

これは次のベクトル図で示されます。

インピーダンスは $\frac{1}{0} \rightarrow \infty$

 

 

 

 

電気振動・振動電流について

次の記事を参照してください。

電気振動 交流の基礎9
RLC並列共振 で解説したように、共振周波数では、コイルとコンデンサーが作る閉回路で振動電流が流れます。 この現象を 電気振動 とよびます。電験三種の理論対策にも

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