物理のエッセンス 波動 70番 P146

物理のエッセンスの波動編の最後の問題 70番です。

ややイメージしづらい感がありますが、丁寧に図を用いて解説したいと思います。

エッセンスの次は良問・名問をおすすめします。

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物理のエッセンス 波動 70番 P146

図のように、波が境界面に斜めにあたり、反射しています。波長 $\lambda$、速さ $v$ とします。
入射角と反射角はともに $\theta$ です。

青い色の波は入射波、緑の色の波は反射波を示しており、反射は自由端反射です。

実線は波の山を、点線は波の谷を示しています。

問題は、

  • 図の波の強めあう位置と弱めあう位置を図示し、強め合う位置の面間隔 $\Delta x$を求めます。
  • 境界面上を伝わる波の速さ $V$ とその伝わる様子を考えます。

考え方

動画解説

エッセンス波動70番

面間隔 $\Delta x$

波のようすを知るには今現在の波をほんの少しだけ、それぞれの進行方向にずらして考えてやります。

この問題の場合も、青い波と緑の波を進行方向に少しだけずらしてみましょう。

そして、波の一部の青の波の山(谷)と緑の波の山(谷)が重なるところにをつけます。

そうすると、図のようになります。

つまり、◯印をつけたところは図の右側に進行していくことがわかります。

強め合う面と弱め合う面はともに境界面に対して平行です。

図の赤の実線は強め合う面で、点線は弱め合う面です。

そしてこれらは定常波ではなく、図の右に進行する進行波です。

   

 

これは「2点波源の干渉」の記事における、2点波源の一直線上の波源の外側における、進行波に似ています。

詳しくはこの記事を参照してください。

いまさらきけない!2点波源による干渉
2点波源による干渉はポピュラーなものですが、ここで問題にしているのは2点波源を結ぶ直線の外側の干渉についてです。 ここは定常波になりません。

境界面上の山や谷に注目して、アニメーションで示して見ましょう。

赤い波に注目すると、図の右方向へ進行しているようすがよく分かると思います。

したがって、問題の強め合う面と強め合う面の間隔 $\Delta x$ は次の図から求めることができます。

図の色のついた直角三角形から考えます。

青の点線と実線の間隔は $\dfrac{\lambda}{2}$ で。面間隔は $\Delta x$ ですから、

$$\cos \theta =\dfrac{\dfrac{\lambda}{2}}{\Delta x}$$

\begin{eqnarray}
\Delta x&=&\dfrac{\dfrac{\lambda}{2}}{\cos \theta}\\\\
&=&\dfrac{\lambda}{2\cos \theta}
\end{eqnarray}

進行波の速さ

次に境界面上を図の右に進行する波の速さを求めましょう。

  が $1\lambda$ 進むとき、も $1\lambda$ すすみます。
したがって、波の周期は 赤も青も同じです。
ということは、赤い波の波長を $\lambda^{\prime}$ とすれば、

$$v=\dfrac{\lambda}{T}$$

$$V=\dfrac{\lambda^{\prime}}{T}$$

となることがわかります。
片々割って、

\begin{eqnarray}
\dfrac{V}{v}&=&\dfrac{\dfrac{\lambda^{\prime}}{T}}{\dfrac{\lambda}{T}}\\\\
&=&\dfrac{\lambda^{\prime}}{\lambda}
\end{eqnarray}

ここで、次の直角三角形を考えます。

このとき、 $\sin \theta =\dfrac{\lambda}{\lambda^{\prime}}$ より、

\begin{eqnarray}
\dfrac{V}{v}&=&\dfrac{\lambda^{\prime}}{\lambda}\\\\
V&=&\dfrac{v}{\sin \theta}
\end{eqnarray}

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