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物理のエッセンス力学 94番 P77

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物理のエッセンス力学 94番 P77

物理のエッセンスの力学編 94**番 77ページの問題です。

このような問題は模試でもよく見ます。

一回やっておけばOKでしょう。

問題は、小物体 P の球面上での速さ $v$ と垂直抗力 $N$ および、球面から離れるときの高さ $h$ を求めるというものです。

解き方

では早速やってみましょう。

速さ $v$

まず質点の速さ $v$ からです。

図の角度 $\theta$ の位置での速さを $v$ とし、エネルギー保存則を立ててみます。

この場合の、エネルギー基準面は角度 $\theta$ の位置の水平面とします。(ご承知のようにどこでも構いませんが)

よって、

$$mgr(1-\cos\theta)=\dfrac{1}{2}mv^2$$

$$v=\sqrt{2gr(1-\cos\theta)}$$

です。

垂直抗力 $N$

遠心力 $ma$ を考えた図より、

  

つり合いを考えます。

\begin{eqnarray}
N+ma&=&mg\cos\theta\\\\
N+m\dfrac{v^2}{r}&=&mg\cos\theta\\\\
\end{eqnarray}

 

このとき垂直抗力 $N$ と慣性力 $ma$ を鉛直と水平方向に分解・・・
してはいけません。

鉛直方向に重力 $mg$、垂直抗力の分力 $N\cos\theta$、慣性力の分力 $ma\cos\theta$ を考えてもつり合っていません。

注意しましょう。

 

より、$v=\sqrt{2gr(1-\cos\theta)}$ を代入しましょう。

\begin{eqnarray}
N&=&mg\cos\theta-m\dfrac{v^2}{r}\\\\
&=&mg\cos\theta-m\dfrac{2gr(1-\cos\theta)}{r}\\\\
N&=&mg(3\cos\theta-2)
\end{eqnarray}

となります。

球面から離れるときの高さ

よく使う手ですが、面から離れるとき $N=0$ となっていますから、その時の角度 $\theta_0$ とすると、

\begin{eqnarray}
N&=&mg(3\cos\theta_0-2)=0
\end{eqnarray}

より、$3\cos\theta_0-2=0$ です。
したがって、

$$\cos\theta_0=\dfrac{2}{3}$$

$$h=r\cos\theta_0=\dfrac{2}{3}r$$

エッセンスを終えたら良問・名問へと進むのがオススメです。

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