相互誘導と電位

相互誘導について解説しています。
また、勘違いしやすい電位問題についても扱っています。

相互誘導
電位についての問題
1. 問題
2. 答え

相互誘導

図でコイル 1 のスイッチを開閉すると、コイル 1 を流れる電流が変化し、コイル 1 の作る磁場が変化する。
そのため、コイル 2 を貫く磁場が変化し、ファラデー電磁誘導の法則に従って、コイル 2 に誘導起電力が生じる。

この現象を相互誘導と呼びます。
このとき、コイル 1 とコイル 2 は直接接続されておらず、空間を隔ててエネルギーを伝えることができます。

ICチップの埋め込まれたカード、電動歯ブラシやスマホのワイヤレス充電などにも使われています。
また、IH（Induction Heating）は相互誘導の一種の渦電流を利用しています。

コイル 2 に生じる誘導起電力 $V_2$ は、コイル 2 を貫く磁束 $\Phi_2$ 、コイル 2 の巻き数 $N_2$ 、時間 $t$ として次式で示されます。

$V_2=-N_2\dfrac{\Delta \Phi_2}{\Delta t}$

ここで、コイル 2 を貫く磁束 $\Phi_2$ はコイル 1 が作った磁束そのものですから、ここでコイル 1 についてもう一度おさらいしましょう。別の記事、自己誘導を参照してください。

コイル 1 において、

コイル 1 の長さ $l$

コイル 1 の単位長さ当たりの巻数　$n_1$

電流 $I_1$ が作る内部磁場の強さ　$H_1=n_1I_1$

磁束密度　$B_1=\mu_1 H_1= \mu_1 n_1I_1$ （透磁率 $\mu_1$ ）

磁束　$\Phi_1=B_1S_1=(\mu_1 H_1)S_1=(\mu_1 n_1I_1)S_1$

とした場合、微小変化 $\Delta$ を考えると、

$\Delta\Phi_1=\Delta(B_1S_1)$
$~~~~~~=\Delta(\mu_1 n_1S_1 I_1)\qquad \qquad\qquad \mu_1 n_1S_1 $ は一定のため、
$~~~~~~=\mu_1 n_1S_1\Delta I_1$

となります。

ここで、コイル 1 を貫く磁束線の変化がコイル 2 を貫くので、コイル 2 を貫く磁束の変化 $\Delta \Phi_2$ は $\Delta \Phi_1$ に比例します。

したがって、比例定数を $k$ とすると、

$\Delta\Phi_2=k\Delta \Phi_1$　　　ここで$\Delta \Phi_1=\mu_1 n_1S_1\Delta I_1$　でしたから、

$\Delta\Phi_2=k(\mu_1 n_1S_1\Delta I_1)$　　$k_2=k\mu_1 n_1S_1$　とおくと、

$\Delta\Phi_2=k_2\Delta I_1$

とすることができます。

ファラデー電磁誘導の法則よりコイル 2 に生じる誘導起電力 $V_2$ は

$V_2=-N_2\dfrac{\Delta \Phi_2}{\Delta t}$　　　　　　　$\Delta\Phi_2=k_2\Delta I_1$　より

$~~~~=-N_2k_2\dfrac{\Delta I_1}{\Delta t}$　　　　　　　$M=N_2k_2$　とおくと、

$V_2=-M\dfrac{\Delta I_1}{\Delta t}$

まとめ

相互誘導の誘導起電力 $V_2$

$V_2=-M\dfrac{\Delta I_1}{\Delta t}$

$V_2$：コイル 2 に生じる誘導起電力　　$M$：相互インダクタンス　　$I_1$：コイル 1 を流れる電流　　$t$：時間

$M$ の単位には自己誘導と同じく H（ヘンリー）を用いる。