単振り子とばね振り子

単振り子とばね振り子

まずは、単振動の復習をしましょう。

単振動

$f=\dfrac{1}{T}$ $\:\:\:\:\:\:\:\:$ $\omega=\dfrac{2\pi}{T}=2\pi f$ $\:\:\:\:\:\:\:\:$ $T=2\pi \sqrt{\dfrac{m}{k}}$

$x=A\sin \omega t$ $\:\:\:\:\:\:\:\:$ $v=\dfrac{dx}{dt}=A\omega\cos \omega t$ $\:\:\:\:\:\:\:\:$ $a=\dfrac{dv}{dt}= -\omega^2 x $

$F=ma= -m\omega^2 x $

単振動の基本的な事項については以下の記事をご覧ください。

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単振り子

単振り子とは、図のような単純な振り子です。
この振り子が、振れ幅が小さく、鉛直面内で運動する場合を考えます。

図で、糸の長さを $l$ 、つるしている物体の質量を $m$ としましょう。

このとき、静止している人から見て、物体にはたらく力は、重力 $mg$ と糸の張力 $S$ だけです。

今、図のように、鉛直線から角度 $\theta$ だけ、振り子が振れて運動している状態を考えます。

振れ角 $\theta$ が小さいので、運動の接線方向の力は $mg\sin \theta $ となります。

ここで、物体の位置を $x$ としてやると、ラジアン角 $\theta$ と円周の関係から、$x=l \theta $　より、$\theta=\dfrac{x}{l}$　です。

そうすると、この物体にはたらく力は　$F=-mg\sin \theta = -mg\sin \dfrac{x}{l}$　と示されます。

振れ角 $\theta$ が十分小さいとき、 $\tan \theta \fallingdotseq \sin \theta \fallingdotseq \theta$　とできますから、合力 $F$ は

$F=-mg\sin\dfrac{x}{l} \fallingdotseq -\dfrac{mg}{l}x$

が成り立ちます。
これは、$k=\dfrac{mg}{l}$　とおけば、

$F=-\dfrac{mg}{l}x=-kx$

となり、単振動するという要件を満たします。
なので、振れ角 $\theta$ が小さいとき、単振り子は単振動するとみなせることになります。

ここで、単振動の関係から

$F=-kx=-m\omega^2x$

より、$k=m\omega^2$　となります。

したがって、$\omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}$　が得られます。

$\omega=\dfrac{2\pi}{T}$　であるため、$k=\dfrac{mg}{l}$　より、

$\omega=\sqrt{\dfrac{m}{k}}$

$T=2\pi\sqrt{\dfrac{k}{m}}=2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}$

が成り立ちます。

この式をよく見ると、単振り子の周期 $T$ は、振れの角度 $\theta$ や物体の質量 $m$ に無関係であり、重力加速度 $g$ と、糸の長さだけで決まることがわかります。

これが、ガリレオの発見した

振り子の等時性ですね！

同じおもりをもちいて、重力加速度と糸の長さが変化しないのであれば、単振り子の周期 $T$ は、その振れ幅にかかわらず不変です。

ばね振り子

一方、ばね振り子と呼ばれるものがあります。(お詫び：式中の $m,k$ が逆でした。修正しました。) 

このばね振り子は、ばね定数 $k$ のばねに質量 $m$ の物体を付けたものです。

このとき、振動中心から $x$ だけ離れた位置で物体が受ける力は $F=-kx$　と示される単振動運動です。

したがって、

$F=-kx=-m\omega^2 x$

より、$\omega =\sqrt{\dfrac{k}{m}}$　です。

よって、その周期 $T$ は

$T=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$ 

で示されるため、質量 $m$ とばねの固さを示すばね定数 $k$ に関係します。

しかし、振動周期 $T$ は、ばね振り子の振れ幅と重力加速 $g$ に無関係です。

つまり、

地上でばね振り子を振らせても、

月面で振らせても同じ周期になる！

ということですね。

まとめ

単振り子とばね振り子について簡単にまとめてみました。