光電効果の理論

アルベルト・アインシュタイン(1879 – 1955)は奇跡の年 1905年に「光量子仮説」「ブラウン運動の理論」「特殊相対性理論」に関連する五つの重要な論文を立て続けに発表しました。
一特許局の役人が世界を揺るがす理論を構築したのですね。

今回は彼の功績の中でものちのノーベル賞受賞につながった光電効果の理論について解説いたします。

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光電効果

光電効果

光電効果とは、よく磨いた金属の表面に光を当てると電子が飛び出してくる、という現象です。

    

その飛び出してくる電子を光電子と呼びます。

この実験事実自体は19世紀末に発見されていたのですが、古典物理学では説明がつかず放置されていたのです。

アインシュタインはこの論文を目にし、「ここには何かある」と直感的に思ったのかもしれません。
この研究に着手します。

光電効果のナゾ

光電効果の特徴的な性質について

  1. 金属板から光電子が出るかどうかは、あてる光の振動数による
    ある振動数(限界振動数 $\nu_0$)以下ではどんなに強い光をあてても光電子は出ない
  2. 限界振動数 $\nu_0$ を超えていれば、どんなに弱い光でも照射するとすぐに光電子が飛び出す
  3. 光電子の運動エネルギーの最大値 $K_0$ は、あてる光の振動数 $\nu$ による
  4. 限界振動数 $\nu_0$ 以上の光をあてるとき、どんなに光を強くしていっても $K_0$ は変化しない が、光電子の数は増加する

これらは古典的な波動論ではうまく説明ができなかったのです。
以下、なぜ古典論では説明できないかを示します。

  1. 金属板から光電子が出るかどうかは、あてる光の振動数による
    ある振動数(限界振動数 $\nu_0$)以下ではどんなに強い光をあてても光電子は出ない

    古典的な波動論では、光のエネルギーは光の強度に比例するはずなので、限界振動数の説明ができない

  2. 限界振動数 $\nu_0$ を超えていれば、どんなに弱い光でも照射するとすぐに光電子が飛び出す

    古典的な波動論では、弱い光のエネルギーは小さいのであててすぐに光電子が飛び出す説明ができない

  3. 光電子の運動エネルギーの最大値 $K_0$ は、あてる光の振動数 $\nu$ による

    古典的には光電子の運動エネルギーはあてる光の強度に関係するはず

  4. 限界振動数 $\nu_0$ 以上の光をあてるとき、どんなに光を強くしていっても $K_0$ は変化しない が、光電子の数は増加する

    古典的には、強い光をあてると光電子は大きなエネルギーを得るはずなので、最大エネルギー $K_0$ が変化しないことの説明ができない

これらの矛盾点を一気に解決するアイデアが次で解説する「光量子仮説」なのです。

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光量子仮説

アインシュタインは光を、光子(光量子)と名づけた粒子であるとして、光電効果の理論的な説明に成功しました。

振動数 $\nu$ の光のエネルギー $E$ は、

$E=h\nu$

で示されます。$h$ はプランク定数とよばれる定数です。

いままで波であることが疑いがない、と思われていた光を粒子と考えたのです。
では、光が粒子であるとして、光電効果をどのように説明できるでしょうか。

アインシュタインの理論では、光子一つが $h\nu$ のエネルギーをもち、金属内にある電子にそのエネルギーをすべて与えて消滅します。

つまり、光子と電子が 1:1 で反応するとしたのです。

また、光電子が金属から飛び出すためには、金属原子からの束縛を断ち切るためのエネルギーが必要です。
これを仕事関数 $W$ といいます。$W$ の値は金属により異なります。

よってエネルギー保存則より、

$h\nu=W+K_0$

これが光電効果のアインシュタインの式です。

運動エネルギーの最大値 $K_0$ としているのは、実際には電子が原子などの束縛を断ち切るためのエネルギーは大きいものも小さいものあるため、飛び出してくる光電子の運動エネルギーに差が出るためです。

前にあげた光電効果の特徴を光子をつかって考えてみましょう。

  1. 金属板から光電子が出るかどうかは、あてる光の振動数による
    ある振動数(限界振動数 $\nu_0$)以下ではどんなに強い光をあてても光電子は出ない

    光電子が飛び出すためには最低限、仕事関数に相当するエネルギーを電子に与える必要がある。
    光子エネルギーは振動数 $\nu$ に比例するため、仕事関数 $W$ 以下のエネルギーしか持たない光子は光電効果を起こさない。

  2. 限界振動数 $\nu_0$ を超えていれば、どんなに弱い光でも照射するとすぐに光電子が飛び出す

    光子と電子は 1:1 対応なので、限界振動数をこえて仕事関数 $W$ 以上のエネルギーを与えることができれば光電子はすぐに飛び出す。

  3. 光電子の運動エネルギーの最大値 $K_0$ は、あてる光の振動数 $\nu$ による

    光子と電子は 1:1 対応であることから容易に説明できる。
    つまり、振動数が大きくなると、電子1個に与えられるエネルギーが増大する。

  4. 限界振動数 $\nu_0$ 以上の光をあてるとき、どんなに光を強くしていっても $K_0$ は変化しない が、光電子の数は増加する

    これも、光子と電子は 1:1 対応であることから容易に説明できる。
    振動数を変えずに光を強くするとは、光子の数を増やすことになるため光電子の数は多くなる。しかし光子と電子は 1:1 対応であるため、振動数が同じであれば $K_0$ に変化はない。

もういちどアインシュタインの式から、

$h\nu=W+K_0$

より、光を金属板にあてたとき、かろうじて光電子が出る、つまり光電子の運動エネルギーが $0$ であるときが限界振動数となります。
したがって、限界振動数 $\nu_0$ は

$h\nu_0=0+K_0$

$\nu_0=\dfrac{W}{h}$

で示されます。これ以下の振動数では光電効果は起きません。

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光電効果のグラフ

ここで $h\nu=W+K_0$ を変形して

$K_0=h\nu-W$

として、縦軸を運動エネルギーの最大値 $K_0$ 、横軸を振動数 $\nu$ としてグラフを描いてみます。

図のようなグラフが描けるはずです。
このグラフの傾きが、プランク定数 $h$ であることに注意してください。

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