気柱共鳴

気柱共鳴

たとえば、試験管に口を近づけて息を吹き込むと音が出ます。
誰しも一度はやったことがある遊びではないでしょうか。

このような管を気柱とよびます。

気柱には大きく分けて　閉管　と　開管　があります。

今回はそれぞれについて詳しく解説をしていきます。

 

閉管

片側が閉鎖されている管です。

試験管などをイメージしてもらえばよいでしょう。

管の内部に生じる定常波ですが、

閉端は節、開端は腹になります。

 

以下、開端がきっちり腹とします。（一般には開口端補正として開端から腹が少し出ている･･･後述）

基本振動

 

このとき、全長 $l$ のパイプとすると、波長 $\lambda$ は、 $\lambda = 4l$　になります。

なぜかというと、この定常波は、1波長のちょうど $\frac{1}{4}$ の形をしているからです（下図）。

音速を $V$ 、振動数を $f_1$ とすると、

$f_1=\dfrac{V}{\lambda}=\dfrac{V}{4l}$

 

3倍振動

閉端が節、開端が腹となる、基本振動の次の振動は次のものしかありません。

このとき、全長 $l$ のパイプとすると、波長 $\lambda$ は、 $\lambda = \dfrac{4}{3}l$　になります。

なぜかというと、この定常波は、1波長のちょうど $\frac{3}{4}$ の形をしているからです（下図）。

音速を $V$ 、振動数を $f_1$ とすると、 $\lambda = \dfrac{4}{3}l$　を代入して、

$f_3=\dfrac{V}{\lambda}=\dfrac{3V}{4l}$

これは、$f_1=\dfrac{V}{4l}$ を用いると、

$f_3=\dfrac{3V}{4l}=3 \times \dfrac{V}{4l}=3f_1$

この3倍の振動･･･というのが3倍振動と呼ばれるゆえんです。

5倍振動

まったく同様に考えて、次の定常波は図のようになります。

このとき、全長 $l$ のパイプとすると、波長 $\lambda$ は、 $\lambda = \dfrac{4}{5}l$　になります。

なぜかというと、この定常波の波長 $\lambda$ は、$l$ を5等分して4倍した長さだからです。下図

$f_5=\dfrac{V}{\lambda}=\dfrac{5V}{4l}$

これは、$f_1=\dfrac{V}{4l}$ を用いると、

$f_5=\dfrac{5V}{4l}=5 \times \dfrac{V}{4l}=5f_1$

この5倍の振動･･･というのが5倍振動と呼ばれるゆえんです。

 

 

開管

両端とも開放されている管です。

開管の場合は両端がともに腹となる定常波を作ります。

基本振動

この場合、下図のように考えると

$\lambda=2l$

です。
したがって、基本振動の振動数 $f_1$ とすると、

$f_1 = \dfrac{V}{\lambda}=\dfrac{V}{2l}$

2倍振動

基本振動の次に考えられる定常波の状態は次のようになります。
必ず両端が腹になることに注意してください。

この場合、波長 $\lambda$ は、次の図から $\lambda=l$

したがって、

$f_2 = \dfrac{V}{\lambda}=\dfrac{V}{l}=\dfrac{2V}{2l}$

 

$f_1 = \dfrac{V}{2l}$　であるから、

$f_2=\dfrac{2V}{2l}= 2 f_1$

3倍振動

さらに次の定常波は、

のようになります。
この場合、波長 $\lambda$ は、次の図から $\lambda=\dfrac{2}{3}l$

この時の振動数は

$f_3 = \dfrac{V}{\lambda}=\dfrac{3V}{2l}$

 

$f_1 = \dfrac{V}{2l}$　であるから、

$f_3=\dfrac{3V}{2l}= 3 f_1$

 

開口端補正

実際に実験をしてみると、開端から定常波の腹が少しはみ出てしまいます。

このはみ出た分を「開口端補正」といいます。

計算方法の一例

開口端補正 $d$ とすると、次の図から

$\dfrac{\lambda}{4}=l + d$

が成り立ちます。

計算方法は状況によりいろいろですが、基本的にはこのよう考えればよいでしょう。