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単振動のエネルギー解法2種 これでわかる! 

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単振動のエネルギーを使った解き方に2つの種類あるのをご存じですか。
この2つは明確に解き方に違いがあるので、混同すると大変なことになります。
今回は単振動でのエネルギー保存を使った解法についてわかりやすく、かつ詳しく解説します。

そして単振動エネルギーの使い方をマスターしたら、計算量が劇的に減り、かつシンプルに考えることができるようになるのです。

これはやらないと損! この記事を読んでぜひマスターしてください。

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単振動のエネルギー解法2種

単振動をエネルギー保存則で解くとき、その方法は大きく分けて2種類あります。

単振動を考えるときのエネルギーには2種類あるんです。

  • 重力の位置エネルギーを考える、
    力学的エネルギー保存を使う方法
  • 振動中心を考えて、
    単振動エネルギー保存を考える方法

です。

それってどちらも一緒のことなのではないですか?

いいえ、この二つは違うんです。

そして、この違いを知るとややこしい単振動問題が
簡単に解けたりするんですよ。

 

これは絶対にマスターしておくべきです。

 

 

 
さて、皆さんはいかがでしょうか?
「そんなの知っている!」という人はこの記事は読まなくてもいいかもしれません。
でも、なぜ2種類のエネルギーがあるのか?その違いは?・・・という問いに答えることができますか?
ここでつまづくのであれば、それは実際には理解できていないことを示しています。
理解できていれば問題を解くにあたって間違いも少なく、時間も短縮できます。
そして、さらなる難問にも立ち向かえます。
ぜひ、ここできっちりと理解して高得点を狙いましょう。

動画による解説

動画による解説を行っています。

テキストベースでも以下で詳しく解説していきます。

力学的エネルギー保存則を使う方法

力学的エネルギーとは、(重力・弾性力による)位置エネルギー+運動エネルギー のことです。
ここでいう弾性力によるエネルギーとはバネのエネルギーのことで、位置エネルギーの一種に分類されています。
バネの弾性エネルギーについてのおさらいです。
バネのエネルギー $E_k$ はそのバネの自然長からの伸び(縮み)$x$ に関係しています。
つまり、バネ定数を $k$ として
$E_k=\dfrac{1}{2}kx^2$
と示されます。

では垂直につるされたバネを例にとって力学的エネルギーを考えていきましょう。
図のように自然長から $l_0 + x$ だけ伸びている位置で物体が速さ $v$ で運動しています。
つり合い位置は自然長から $l_0$ だけ伸びた位置です。

このとき、単振動する物体のもつ力学的エネルギー $E$ は

力学的エネルギー=(重力の位置エネルギー+弾性力の位置エネルギー)+運動エネルギー

ですから、重力の位置エネルギーの基準をバネの自然長のところにとってやると、

$\small E=\{-mg(l_0+x) + \dfrac{1}{2}k(l_0+x)^2\} + \dfrac{1}{2}mv^2 \normalsize$

と書けます。基本的には、このエネルギーが保存されるとして解けばいいですね。

では、気になる単振動のエネルギーの方法とはどのようなものでしょうか。

単振動エネルギー保存則を使う方法

結論から言えば、単振動のエネルギーは、振動中心からの単振動位置エネルギー + 運動エネルギー で示されます。
単振動のエネルギーを考える場合は、重力による位置エネルギーは不要です。
そして、このことが計算を劇的に簡単にしてくれるんです。
どういうことか詳しく見ていきましょう。
次図ではつり合い位置 O からの距離は $x$ です。
そして O が単振動の振動中心になります。

単振動ではつり合い位置が振動中心になります!
なぜならば、運動していてもつり合い位置では瞬間的に合力 0 加速度 0 になるからです。

このときの単振動の位置エネルギーとでも呼ぶべき量は、
$\dfrac{1}{2}kx^2$
であらわされます。
つまり、振動中心を考えてそこからの変位で単振動位置エネルギーを考えるのです。
したがって、総単振動エネルギー $E_S$ は
$E_S=\dfrac{1}{2}kx^2 + \dfrac{1}{2}mv^2$
だけでよいのです。

めっちゃシンプルですね!

 
単振動の運動においてはこのエネルギー和が保存されるとして問題を解いていきます。
こうすると、計算が非常に簡単になります。
また、単振動に対する考え方も非常にシンプルになるので間違いも少なくなるはずです。

振動中心を考えて、そこからの距離 $x$ による

単振動位置エネルギーと運動エネルギー の和 

$\dfrac{1}{2}kx^2 + \dfrac{1}{2}mv^2$  

を考えることで重力の位置エネルギーが不要になるんだ。

でもなぜ重力の位置エネルギーを考えなくていいの?

次章ではなぜ重力の位置エネルギーを考える必要がないのかを検証します。

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なぜ、重力による位置エネルギーを考えなくてもよいのか

その単振動エネルギーを使う解法はもう知っているよ!・・・という人もみえるでしょうが、再度お尋ねします。
なぜ重力の位置エネルギーを入れなくてもいいのでしょうか? 実際このなぜか、という説明が抜けている参考書がほとんどです。

ここではそのなぜを考えていきましょう。

仕事と力の関係

まずはおさらいです。
仕事と力の関係を覚えていますね。
仕事 $W$ は、力を $F$、移動距離を $x$ とすると次式で示されます。
$W=Fx$
です。
でもこの式は力 $F$ が一定の場合しか使えません。
グラフで示すと次のようになります。
 
すなわち仕事は図のようにグラフと $x$ 軸との囲む長方形の面積を意味します。
力が変化する場合は、積分してやる必要があるのですが、もし$F=kx$ のような関係にある場合には、グラフの面積から簡単に求めることができます。
上の図のような場合は三角形の面積を求めればよいので、この場合の仕事 $W$ は、
$W=\dfrac{1}{2}Fx$
$F=kx$  代入して
$W=\dfrac{1}{2}kx^2$
となります。
ということは、$F=kx$ で示されるような力がする仕事は $W=\dfrac{1}{2}kx^2$ と示されるということです。
この仕事 $W$ がエネルギー $E$ に変化すると考えることができます。
つまり、
$E=\dfrac{1}{2}kx^2$
となるのです。

力が$F=kx$ で示される場合のエネルギーは

$E=\dfrac{1}{2}kx^2$

なんだ!

振動中心からの合力

では、図のような鉛直面内で運動している単振動の場合についてその力を考えることにします。
まず、つり合いの位置では静止しているので次式が成り立ちます。
$mg=kl_0$
さらに、つり合い位置からの距離 $x$ での働く力の合力 $F$ は次のようになります。ここでは、下向き正と仮にしておきます。
$F=mg-k(x+l_0)$
ここで、先ほどの $mg=kl_0$ を代入してやると、
$F=mg-k(x+l_0)=-kx$
となります。
そうですね結局、働く力は合力を考えると $F=-kx$ と示されるのです。
ここでの $x$ はつり合い位置からの変位であることに注意してください。

結局図を横にして眺めれば、次の図と同じことになります。

ただし振動中心は鉛直につるした場合のつり合い位置です。

よって仕事とエネルギーの関係から前節で解説したように、その単振動による位置のエネルギー $E_S$ は振動中心からの変位を $x$ として、
$E_S=\dfrac{1}{2}kx^2$
とあらわされるのです。(重力は合力として織り込み済であることに注意してください)
よって、単振動の位置エネルギーと運動エネルギーの和は保存されることがわかります。
物体は速さ $v$ で運動しているので、

$\small E_S=\dfrac{1}{2}kx^2+\dfrac{1}{2}mv^2 =\:一定\normalsize$

となります。

計算してみた

あるいは、重力の位置エネルギーを考えた力学的エネルギーの式を変形しても同様の結論を得ることができます。
$\small E=\{-mg(l_0+x) + \dfrac{1}{2}k(l_0+x)^2\} + \dfrac{1}{2}mv^2 =\:一定\normalsize$
でしたから、これにつり合いにおける式、
$mg=kl_0$
を代入すると、
$\small E=\{-mg(l_0+x) + \dfrac{1}{2}k(l_0+x)^2\} + \dfrac{1}{2}mv^2 \normalsize$

$\small ~~~=-kl_0(l_0+x) + \dfrac{1}{2}k\{l_0\!^2+2l_0x+x^2\} + \dfrac{1}{2}mv^2 \normalsize$

$\small ~~~=-\dfrac{1}{2}kl_0\!^2+\dfrac{1}{2}kx^2+\dfrac{1}{2}mv^2 =\:一定\normalsize$

ここで、$\dfrac{1}{2}kl_0\!^2$ は定数なので、残りの
$\dfrac{1}{2}kx^2+\dfrac{1}{2}mv^2=\:一定$

となります。

なるほど!

わかりました!

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問題を解くときはどちらを使うべきか

まとめ

  • 力学的エネルギーを考える方法
    力学的エネルギー=(重力の位置エネルギー+弾性力の位置エネルギー)+ 運動エネルギー
    $\small E=\dfrac{1}{2}kx^2 + mgh + \dfrac{1}{2}mv^2 =\:一定\normalsize$
  • 振動中心を考えてそこからの変位 $x$ から単振動位置エネルギーを考える方法
    単振動エネルギー= 単振動の位置エネエルギー+ 運動エネルギー
    $\small E_S=\dfrac{1}{2}kx^2 + \dfrac{1}{2}mv^2 =\:一定\normalsize$

重力の位置エネルギーを使うことを要求されていなければ、単振動のエネルギーを使うのが断然おすすめです。

注意点として、テクニック的に使うのではなく、なぜかをよく理解して使ってください。
それが難問に立ち向かうための力となります。

最後に、難関大学をこれから目指す方で、基本をすでに終えているのであれば次の問題集がおすすめできます。
ホネのある問題が多いですが、とことん考える姿勢を養ってほしいと思います。

名問の森物理 力学・熱・波動1 (河合塾シリーズ)
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名問の森物理 波動2・電磁気・原子 (河合塾シリーズ)
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