RLC並列回路その2　交流の基礎6-2

RLC並列回路その2　交流の基礎6-2

前回のRLC並列回路でインピーダンスを計算で求めましょう。

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RLC並列回路

図のような、抵抗 $R$、 コイル $L$、コンデンサー $C$ からなる並列回路を考えます。この回路全体のインピーダンス $Z$ は次の式になります。

$Z=\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{1}{R^2}+\left ( \omega C – \dfrac{1}{\omega L}   \right )^2}}$

また、回路全体にかかる電圧　$V=V_0\sin \omega t$　に対して、
回路全体を流れる電流　$I=I_0\sin (\omega t + \phi) $　とすると、

 

 

$\tan \phi = \dfrac{ \:  I_{C0} \: – I_{L0 }\:}{I_{R0}} = \dfrac{\:\omega C\: – \dfrac{1}{\omega L}   \: }{\dfrac{1}{R}}$

 

 

---

 

それでは、実際に計算を進めていきます。

今回の並列回路ではそれぞれの素子に流れる電流は異なりますが、並列のため、電圧は共通になるはずです。

したがって、電圧を初期位相 0とし、 $V=V_0 \sin \omega t$　とおきます（ $V_0$ ： 最大値）。
　初期位相があっても同じことです。初期位相を 0 にしたのは、計算を楽にするためです。

また、図の回路全体を流れる電流 $I$ は、電圧との位相のずれを $\phi$ とすれば、

$I=I_0 \sin(\omega t +\phi)$

となるはずです。この $\phi$ は普通は $\dfrac{\pi}{2}$ ではありません（ $\dfrac{\pi}{2}$ のときもあります）。

 

それぞれの素子（抵抗、コイル、コンデンサー）を流れる電流を

• 抵抗 ･･･････････ $I_R$
• コイル ･････････ $I_L$
• コンデンサー ･･･ $I_C$

とします。

 

 

 

抵抗・コイル・コンデンサー に流れる電流

位相差

各素子を流れる電流を考えます。
各素子に共通の電圧がかかりますからそれを　$V=V_0\sin \omega t$　とした場合、電圧と電流に関しての位相のずれから、各素子を流れる電流は次のように書けます。

• 抵抗 $R$ を流れる電流 $I_R$ は、電圧　$V=V_0\sin \omega t$　と同位相
  　$I_R=I_{R0} \sin \omega t$

• コイル $L$ を流れる電流 $I_L$ は、電圧　$V=V_0\sin \omega t$　に対して $\dfrac{\pi}{2}$ 遅れている
  　$I_L=I_{L0} \sin (\omega t \: – \dfrac{\pi}{2})$　　

  

  Coil 　の　 i　 は　 late ！

• コンデンサー $C$ を流れる電流 $I_C$ は、電圧　$V=V_0\sin \omega t$　に対して $\dfrac{\pi}{2}$ 進んでいる
  　$I_C=I_{C0} \sin (\omega t  + \dfrac{\pi}{2})$

 

 

並列回路を流れる電流 $I$ は、キルヒホッフの第1法則から

$I=I_R+I_L+I_C$

となります。以下の式を代入します。

• $I_R=I_{R0} \sin \omega t$
• $I_L=I_{L0} \sin (\omega t \: – \dfrac{\pi}{2})$
• $I_C=I_{C0} \sin (\omega t  + \dfrac{\pi}{2})$

したがって、

$I=I_R+I_L+I_C$

$~~~=I_{R0} \sin \omega t + I_{L0} \sin (\omega t \: – \dfrac{\pi}{2}) + I_{C0} \sin (\omega t  + \dfrac{\pi}{2})$

 

 

$~~~=I_{R0} \sin \omega t + ( – I_{L0} \cos \omega t  + I_{C0} \cos \omega t  ) $

$~~~=I_{R0} \sin \omega t + (I_{C0}  – I_{L0} ) \cos \omega t  $

 

$~~~=\sqrt{ {I_{R0}}^2 + (I_{C0}   – I_{L0})^2} \: \sin (\omega t + \phi) $

ここで、

• $I_{R0}=\dfrac {V_0}{R}$
• $I_{L0}=\dfrac{V_0}{\omega L}$
• $I_{C0}=\omega CV_0$

を代入すると、

$~~~ = \sqrt{ \left ( \dfrac {V_0}{R} \right)^2  + \left (\omega CV_0  – \dfrac{V_0}{\omega L} \right )^2 }  \:\: \sin (\omega t + \phi) $

$ I = \sqrt{ \left ( \dfrac {1}{R} \right)^2  + \left (\omega C  – \dfrac{1}{\omega L} \right )^2 } \:\: V_0  \sin (\omega t + \phi) $

これとオームの式　$I=\dfrac{V}{R}$　を比較し、回路全体の抵抗成分として、インピーダンス $Z$ を

$ Z = \dfrac{1}{\sqrt{ \left ( \dfrac {1}{R} \right)^2  +\left (\omega C  – \dfrac{1}{\omega L} \right )^2 }}$

$\tan \phi  = \dfrac{\:\omega C\: – \dfrac{1}{\omega L}   \: }{\dfrac{1}{R}}$

とします。そうすると、

$ I = \dfrac{1}{Z} V_0 \sin (\omega t + \phi)$　　これは、

$~~~=I_0 \sin(\omega t + \phi)$　　のはずだから、

よって、

$I_0=\dfrac{V_0}{Z}$

また、実効値は　$I_e=\dfrac{I_0}{\sqrt{2}}$　　$V_e=\dfrac{V_0}{\sqrt{2}}$　だから、

$I_e=\dfrac{V_e}{Z}$ 

まとめ

抵抗を流れる電流 $I_R$　　コイルを流れる電流 $I_L$　　コンデンサーを流れる電流 $I_C$

各素子を流れる電流の最大値と実効値

• 回路全体･･････最大値 $I_0$      実効値 $I_e$
• 抵抗･･････････最大値 $I_{R0}$    実効値 $I_{Re}$
• コイル････････最大値 $I_{L0}$    実効値 $I_{Le}$
• コンデンサー･･最大値 $I_{C0}$    実効値 $I_{Ce}$

 

RLC（LCR）並列回路においては、回路全体にかかる電圧を　$V=V_0\sin \omega t$　ととする。

• $I_R=I_{R0} \sin \omega t$
• $I_L=I_{L0} \sin (\omega t \: – \dfrac{\pi}{2})$
• $I_C=I_{C0} \sin (\omega t + \dfrac{\pi}{2})$

 

• $I_{R0}=\dfrac {V_0}{R}$
• $I_{L0}=\dfrac{V_0}{\omega L}$
• $I_{C0}=\omega CV_0$

 

• $I_{Re}=\dfrac {V_e}{R}$
• $I_{Le}=\dfrac{V_e}{\omega L}$
• $I_{Ce}=\omega CV_e$

 

キルヒホッフの第1法則から

$I=I_R+I_L+I_C$　　

注意！！　$I_{0}=I_{R0}+I_{L0}+I_{C0}$　　$I_{e}=I_{Re}+I_{Le}+I_{Ce}$　　とはなりません。

• $I_{0}=\sqrt{{I_{R0}}^2+(I_{C0} \:- I_{L0})^2}$
• $I_0=\sqrt{\dfrac {1}{R^2} + \left( \omega C \: – \dfrac{1}{\omega L} \right)^2 }\:\:V_0$
• $I_{e}=\sqrt{{I_{Re}}^2+(I_{Ce} \:- I_{Le})^2}$
• $I_e=\sqrt{ \dfrac {1}{R^2} + \left( \omega C \: – \dfrac{1}{\omega L} \right)^2 }\:\:V_e$

 

この $Z$ を交流回路における抵抗成分と考え、インピーダンスと呼びます。

$I_0=\dfrac{V_0}{Z}$

$I_e=\dfrac{V_e}{Z}$ 

$ Z = \dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{1}{R^2}+\left ( \omega C – \dfrac{1}{\omega L}   \right )^2}} $

 

RLC並列回路にかかる電圧と回路全体を流れる電流の位相差 $\phi$ は、

$\tan \phi = \dfrac{ \:  I_{C0} \: – I_{L0 }\:}{I_{R0}} = \dfrac{\: \omega C \:  – \dfrac{1}{\omega L}  \: }{\dfrac{1}{R}}$

 

ベクトル的な考え方・三角関数を考えかたも、RLC直列回路も並列回路も考え方は同じことです。

 

補　三角関数

補1　加法定理

$\sin(a \pm b)=\sin a \cos b \pm \cos a \sin b$

$\cos(a \pm b)=\cos a \cos b \mp \sin a \sin b$

 

$\sin(\omega t  \pm \dfrac{\pi}{2})=\sin\omega t \cos \dfrac{\pi}{2} \pm \cos\omega t \sin \dfrac{\pi}{2}$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\pm \cos\omega t \sin \dfrac{\pi}{2}$

 

補2　三角関数の合成

$a\sin \theta + b\cos \theta =\sqrt{a^2 + b^2} \sin (\theta +\phi ) $

(ただし、$ \phi $ は　$\tan \phi =\dfrac{b}{a}$　を満たす）

上式の右辺から加法定理より、

 

$\sqrt{a^2 + b^2} \sin (\theta +\phi )=\sqrt{a^2 + b^2} (\sin \theta \cos\phi + \cos \theta \sin\phi ) \:\cdots \cdots \:(\ast)$

 

ここで、 $\tan \phi =\dfrac{b}{a}$　であるから、図を参考に、

$\cos\phi=\dfrac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

$\sin\phi=\dfrac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

 

 

 

これらを式 $(\ast)$  へ代入すると、

$\sqrt{a^2 + b^2} \sin (\theta +\phi )=\sqrt{a^2 + b^2} (\sin \theta \cos\phi + \cos \theta \sin\phi ) $

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\sqrt{a^2 + b^2} (\sin \theta \dfrac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} + \cos \theta \dfrac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} ) $

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=a\sin \theta + b\cos \theta$