物理のエッセンス原子分野 37番

物理のエッセンス原子分野 37番

静止している Ra の原子核が崩壊して、Rn 原子核と α 粒子になった。

Ra の質量を $M_0$ 、Rn の質量を $M_1$ 、 α 粒子の質量を $m_1$ とする。

1. 発生するエネルギー $Q$ 
2. α 粒子の運動エネルギー 

を求めましょう。

1　発生するエネルギー $Q$

質量欠損を求めて　$E=\Delta mc^2$　で計算すればいいだけです。

このアインシュタインの有名な等式はこちらで解説しています。

【動画追加】高校物理でアインシュタインの特殊相対論　質量とエネルギーの等価式を導こう

【動画追加】アインシュタインの示した有名な式 $E=mc\,^2$ をご存知でしょうか？実はこの式を導くのは高校程度の物理の知識があれば可能です。 ここでは、一緒に導いてみましょう。

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この場合の質量欠損分は　$\Delta m= M_0-(M_1+m_1)$　なので、

$Q=\Delta mc^2$

$~~=\left( M_0-M_1-m_1  \right ) c^2$

となります。

2　α 粒子の運動エネルギー  

運動量保存則から考えて、発生した α 粒子と Rn は一直線上反対向きに飛んでいきます。

そのとき、α 粒子 ( 質量 $m_1$ ) の速さを $v$ 、Rn ( 質量 $M_1$ ) の速さを $V$ とします。

最初は静止していたので、図において右向きを正とすると、運動量保存則から

$0=M_1V-m_1v$

これより、

$v:V=M_1:m_1$　　これより、$v=\dfrac{M_1}{m_1}V$

α 粒子の運動エネルギー $K_{\alpha}$　　Rn の運動エネルギー $K_{Rn}$　とすると、

$K_{\alpha} : K_{Rn}=\dfrac{1}{2}m_1v^2 : \dfrac{1}{2}M_1V^2$

これに先ほどの　$v=\dfrac{M_1}{m_1}V$　を入れて整理します。

$K_{\alpha} : K_{Rn} = m_1v^2 : M_1V^2$           　$v=\dfrac{M_1}{m_1}V$　

$~\quad\quad\quad \quad = m_1\left (\dfrac{M_1}{m_1}V \right)^2 : M_1V^2$

$~\quad\quad\quad \quad = m_1 \dfrac{M^2_1}{m^2_1}V ^2 : M_1V^2$

$~\quad\quad\quad \quad =  \dfrac{M_1}{m_1}V ^2 : V^2$

以上より、

$K_{\alpha} : K_{Rn} =  M_1: m_1$

また、 $K_{\alpha}+K_{Rn}=Q$　であるので、

$K_{\alpha} = \dfrac{M_1}{m_1+M_1}Q$

となります。このようなとき、運動エネルギーはそれぞれの質量の逆比になります。