薄膜を含んだヤングの実験

この問題に関しては一度は考え方をマスターしておきましょう。

他にもいろいろ応用がきくようになります。

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薄膜を含んだヤングの実験

ヤングの実験

ヤングの実験とは二重スリットを通した光がスクリーン上で干渉縞を生じる現象です。

解説はこちら

ヤングの実験
ニュートンの光の粒子説 1700年代 ニュートン(1643-1727)は光は粒子だと考え、 万有引力 によって光の屈折現象を説明しようとしています。 すなわち、光が屈折するのは、光の粒子は万有引力により物体側に加速されるためとしたのです。

 

今回はこのスリットの前に光を透過する薄膜(ガラスなど)を置いた場合について考えます。

 

スリットの前に薄膜を入れた場合

ヤングの実験において、2重スリットの片方に屈折率 $n$ で厚み $D$ の薄膜を入れます。

その場合、

  1. スクリーン上の中央の明線はどちらにずれるのか
  2. 中央の明線のずれの量 $x$ はいくらになるか

ということについて考えてみます。

 

解説

1. スクリーン上の明線はどちらずれるのか

薄膜を挿入する前では、スクリーンの O が中央の明線が出るところです。
その場合、中央の O では、行路差 $\mathrm{\overline{S_1O}=\overline{S_2O}}$ となります。

 

 

そのため、各スリットを通った光はスクリーンの O 上で同位相となり強め合い明るくなるのです。

しかしここではスリットの手前に厚さ $D$ の薄膜を入れています。

そこで、起点を次の図のように薄膜の手前 $\mathrm{S’_1\:,\: S’_2}$ から考えることにします。

薄膜がない場合、それぞれの行路差 $\mathrm{\overline{S’_1S_1O}}$ と $\mathrm{\overline{S’_2S_2O}}$ の長さは同じです。

 

そうすると、薄膜を入れた場合、O がずれて O’ となったと考えるとき、

それぞれの光路差 $\mathrm{\overline{S’_1S_1O’}}$ と $\mathrm{\overline{S’_2S_2O’}}$ の長さは同じです。

 

行路差と光路差の違いは何でしょうか?

 

  • 行路差・・・距離の差(経路差)
  • 光路差・・・光学的距離を考慮に入れた差

 

薄膜の光学的距離を考慮に入れて光路差を考えます。

そうすると、薄膜の屈折率が $n$ のため、 $\mathrm{\overline{S’_1S_1}}=D$ および $\mathrm{\overline{S’_2S_2}}=nD$ です。

光学的距離では、

$\mathrm{\overline{S’_1S_1O’}} = \mathrm{\overline{S’_2S_2O’}}$ 

$\mathrm{\overline{S’_1S_1}} + \mathrm{\overline{S_1O’}} = \mathrm{\overline{S’_2S_2}} + \mathrm{\overline{S_2O’}}$ 

すなわち

$D+\mathrm{\overline{S_1O’}}=nD+\mathrm{\overline{S_2O’}}$

ここで、$n>1$ であるため、

$\mathrm{\overline{S_1O’}} > \mathrm{\overline{S_2O’}}$

となります。

 

したがって、O は図のように上にずれて O’ になります。

 

 

中央の明線のずれの量

次に、ずれの量を $x$ とします。光学的距離で考えて、

$\mathrm{\overline{S’_1S_1O’}} = \mathrm{\overline{S’_2S_2O’}}$

 

ですから、 $\mathrm{S_2}$ から $\mathrm{\overline{S_1O’}}$ におろした垂線の交点を $\mathrm{S^{\prime\prime}_1}$ とすると、ここで、角 $\theta$ が小さく、$l$ が $d$ に比べて十分大きければ、

$ \mathrm{\overline{S_2O’}}= \mathrm{\overline{S^{\prime\prime}_1O’}}$

と考えられるため、

$ \mathrm{\overline{S_2’S_2}}= \mathrm{\overline{S’_1S_1S^{\prime\prime}_1}}$

となります。

ここで図から、

$\mathrm{\overline{S_1S^{\prime\prime}_1}}=d\sin\theta$

と考えられるから、 $ \mathrm{\overline{S_2’S_2}}= \mathrm{\overline{S’_1S_1S^{\prime\prime}_1}}$ より、

$nD=D+d\sin\theta$

 

$\theta$ (ラジアン)が十分小さく、 $\sin\theta \fallingdotseq \tan\theta \fallingdotseq \theta$ とできるとき、

$\sin\theta \fallingdotseq \tan\theta \fallingdotseq \dfrac{x}{l}$

 

近似については、図から考えると次のようになります。

 

$\theta $ が十分小さいときは、

$\sin\theta \fallingdotseq \tan\theta \fallingdotseq \theta $

 

よって、

$nD = D+d\sin\theta = D + d\dfrac{x}{l}$

より、

 

$x=\dfrac{(n-1)Dl}{d}$

 

光学的距離

屈折率 $n$ の物質中の距離は真空中の $n$ 倍に相当します。
つまり、厚さ $D$ の薄膜(屈折率 $n$ )は真空中では $nD$ に相当します。

光の場合、$n$ は必ず 1 より大きいため、$nD$ は必ず $D$ よりも大きくなります。

 

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