RLC並列回路　交流の基礎6

交流のRLC並列回路について、インピーダンス、位相、などについて詳しく解説しています。

RLC並列回路　交流の基礎6 

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RLC並列回路

図のような、抵抗 $R$、 コイル $L$、コンデンサー $C$ からなる並列回路を考えます。この回路全体のインピーダンス $Z$ は次の式になります。

$Z={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{R^2}}+{\left(\omega C–{\displaystyle \frac{1}{\omega L}}\right)}^2}}}$

また、回路全体にかかる電圧　$V=V_0\sin \omega t$　に対して、
回路全体を流れる電流　$I=I_0\sin (\omega t+\varphi )$　とすると、

 

 

$\tan \varphi ={\displaystyle \frac{I_{C0}–I_{L0}}{I_{R0}}}={\displaystyle \frac{\omega C–{\displaystyle \frac{1}{\omega L}}}{{\displaystyle \frac{1}{R}}}}$

 

 

---

 

前回の直列回路（その１、その２）では直列のため、全ての素子に流れる電流は共通で同位相でした。

今回の並列回路ではそれぞれの素子に流れる電流は異なりますが、並列のため、電圧は共通で同位相になるはずです。

したがって、電圧を初期位相 0とし、 $V=V_0\sin \omega t$　とおきます（ $V_0$ ： 最大値）。

 

それぞれの素子（抵抗、コイル、コンデンサー）を流れる電流を

• 抵抗 ･･･････････ $I_R$
• コイル ･････････ $I_L$
• コンデンサー ･･･ $I_C$

とします。

 

 

 

抵抗・コイル・コンデンサー に流れる電流

位相差

各素子を流れる電流を考えます。
各素子に共通の電圧がかかりますからそれを　$V=V_0\sin \omega t$　とした場合、電圧と電流に関しての位相のずれから、各素子を流れる電流は次のように書けます。

• 抵抗 $R$ を流れる電流 $I_R$ は、電圧　$V=V_0\sin \omega t$　と同位相
  　$I_R=I_{R0}\sin \omega t$

• コイル $L$ を流れる電流 $I_L$ は、電圧　$V=V_0\sin \omega t$　に対して ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ 遅れている
  　$I_L=I_{L0}\sin (\omega t–{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$　

• コンデンサー $C$ を流れる電流 $I_C$ は、電圧　$V=V_0\sin \omega t$　に対して ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ 進んでいる
  　$I_C=I_{C0}\sin (\omega t+{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

 

 

電流のグラフ

ここで各素子を流れる電流を縦軸に、時間を横軸にとったグラフを描きます。

電圧を　$V=V_0\sin \omega t$　としたとき、各素子の時間 $t$ に対する電流の値はそれぞれ、

• • $I_R=I_{R0}\sin \omega t$
  • $I_L=I_{L0}\sin (\omega t–{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$
  • $I_C=I_{C0}\sin (\omega t+{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

です。

この ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ の位相のずれとは、参考円において互いに 90° の角度差をもっているということです。
したがって、参考円での次の図のような等速円運動を考えます。

その際に、各参考円の半径は各素子に流れる電流の最大値（ $I_{R0}$  $I_{L0}$   $I_{C0}$ ）となります。　
これらのベクトルが図のように位相差を保ちながら、等速円運動している状態を考えます。
（注：ここでの図における各電流の大きさは適当です。図ではコンデンサーを流れる電流 ＞ コイルを流れる電流　となっています。）

 

ここで、ある時刻 $t$ における回路全体を流れる電流を示すものは、参考円において各素子を流れる電流を合成したもの（図の赤色の部分）に等しくなります。

$I=I_R+I_L+I_C$

インピーダンス

コイル $L$ とコンデンサー $C$ の位相差はちょうど $\pi$ です。
イメージをつかみやすくするために、回転して次の図のようになったときを考えます。 

 

求める $I$ の大きさは図で、

ピタゴラスの定理から

$I_0^2={I_{R0}}^2+(I_{C0}-I_{L0}{)}^2$

$I_0=\sqrt{{I_{R0}}^2+(I_{C0}-I_{L0}{)}^2}$

となります。

 

さて、ここで各素子のオームの式

• $I_{R0}={\displaystyle \frac{V_0}{R}}$
• $I_{L0}={\displaystyle \frac{V_0}{\omega L}}$
• $I_{C0}=\omega C{V}_0$

 

であることから、これらを $I_0$ の式へ代入します。（ $V$ は RLC に共通です）

$I_0=\sqrt{{I_{R0}}^2+(I_{C0}-I_{L0}{)}^2}$

$=\sqrt{{\left({\displaystyle \frac{V_0}{R}}\right)}^2+{\left(\omega C{V}_0–{\displaystyle \frac{V_0}{\omega L}}\right)}^2}$

$I_0=\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{R^2}}+{\left(\omega C–{\displaystyle \frac{1}{\omega L}}\right)}^2}{V}_0$

 

実効値の場合も同様に考えて、

• $I_{Re}={\displaystyle \frac{V_e}{R}}$
• $I_{Le}={\displaystyle \frac{V_e}{\omega L}}$
• $I_{Ce}=\omega C{V}_e$
• $I_e=\sqrt{{I_{Re}}^2+(I_{Ce}-I_{Le}{)}^2}$
• $I_e=\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{R^2}}+{\left(\omega C–{\displaystyle \frac{1}{\omega L}}\right)}^2}{V}_e$

 

ここで、${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{R^2}}+{\left(\omega C–{\displaystyle \frac{1}{\omega L}}\right)}^2}}}=Z$　とおきます。
そうすると、

 

• $I_0={\displaystyle \frac{V_0}{Z}}$   
  　　　
• $I_e={\displaystyle \frac{V_e}{Z}}$   

 

となり、オームの式　$I={\displaystyle \frac{V}{R}}$　と同じ形です。
そこで、この $Z$ を交流回路における抵抗をあらわす値と考え、$Z$ をインピーダンスと呼ぶことにします(単位 $\mathrm{\Omega }$ )。

位相差

今回は、電圧を　$V=V_0\sin \omega t$　としています。
回路全体にを流れる電流は、電圧との位相のずれを $\varphi$ として、
$I=I_0\sin (\omega t+\varphi )$　と考えられます。

 電圧 $V$ の位相と抵抗を流れる $I_R$ の位相は等しいため、図の角度 $\varphi$ が電圧 $V$ に対する、回路全体を流れる電流 $I=I_R+I_L+I_C$ の位相のずれを示していることになります。

 

 

図より、RLC並列回路にかかる電圧 $V$ と回路全体を流れる電流 $I$ の位相差 $\varphi$ は、

$\tan \varphi ={\displaystyle \frac{I_{C0}–I_{L0}}{I_{R0}}}$

$={\displaystyle \frac{\omega C–{\displaystyle \frac{1}{\omega L}}}{{\displaystyle \frac{1}{R}}}}$

となります。

 

LC並列回路　RC並列回路　RL並列回路

• LC並列回路

さて、RLC並列回路において、抵抗 $R$ がない場合はどうなるでしょうか。その場合は、単に式から抵抗に関する部分を消去すればOKです。

 

 

$Z={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{{\left(\omega C–{\displaystyle \frac{1}{\omega L}}\right)}^2}}}$

$={\displaystyle \frac{1}{\left|\omega C–{\displaystyle \frac{1}{\omega L}}\right|}}$

この場合の位相は、$\omega C$ と ${\displaystyle \frac{1}{\omega L}}$ の大きいほうを向きます。

 

もし $\omega C$ と ${\displaystyle \frac{1}{\omega L}}$ が同じ大きさのときはインピーダンス $Z$ が $\mathrm{\infty }$ になり、電流が流れません。これについては共振の記事で解説します。

 

同様に

• RC並列回路

     

$Z={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{R^2}}+{\left(\omega C\right)}^2}}}$

 

• RL並列回路

      

$Z={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{R^2}}+{\left(–{\displaystyle \frac{1}{\omega L}}\right)}^2}}}$

まとめ

抵抗を流れる電流 $I_R$　　コイルを流れる電流 $I_L$　　コンデンサーを流れる電流 $I_C$ とする。

各素子を流れる電流の最大値と実効値をそれぞれ以下の式で示す。

• 回路全体･･････最大値 $I_0$      実効値 $I_e$
• 抵抗･･････････最大値 $I_{R0}$    実効値 $I_{Re}$
• コイル････････最大値 $I_{L0}$    実効値 $I_{Le}$
• コンデンサー･･最大値 $I_{C0}$    実効値 $I_{Ce}$

 

RLC（LCR）並列回路においては、回路全体にかかる電圧を　$V=V_0\sin \omega t$　とした場合、各素子を流れる電流は

• $I_R=I_{R0}\sin \omega t$
• $I_L=I_{L0}\sin (\omega t–{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$
• $I_C=I_{C0}\sin (\omega t+{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

 

• $I_{R0}={\displaystyle \frac{V_0}{R}}$
• $I_{L0}={\displaystyle \frac{V_0}{\omega L}}$
• $I_{C0}=\omega C{V}_0$

 

• $I_{Re}={\displaystyle \frac{V_e}{R}}$
• $I_{Le}={\displaystyle \frac{V_e}{\omega L}}$
• $I_{Ce}=\omega C{V}_e$

 

$I=I_R+I_L+I_C$

 

• $I_0=\sqrt{{I_{R0}}^2+(I_{C0}-I_{L0}{)}^2}$
• $I_0=\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{R^2}}+{\left(\omega C–{\displaystyle \frac{1}{\omega L}}\right)}^2}{V}_0$

• $I_e=\sqrt{{I_{Re}}^2+(I_{Ce}-I_{Le}{)}^2}$
• $I_e=\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{R^2}}+{\left(\omega C–{\displaystyle \frac{1}{\omega L}}\right)}^2}{V}_e$

 

この $Z$ を交流回路における抵抗成分と考え、インピーダンスと呼びます。

$I_0={\displaystyle \frac{V_0}{Z}}$

$I_e={\displaystyle \frac{V_e}{Z}}$ 

$Z={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{R^2}}+{\left(\omega C–{\displaystyle \frac{1}{\omega L}}\right)}^2}}}$

 

RLC並列回路にかかる電圧と回路全体を流れる電流の位相差 $\varphi$ は、

$\tan \varphi ={\displaystyle \frac{I_{C0}–I_{L0}}{I_{R0}}}={\displaystyle \frac{\omega C–{\displaystyle \frac{1}{\omega L}}}{{\displaystyle \frac{1}{R}}}}$

 

RLC直列回路・RLC並列回路　ともに基本をしっかり理解できればおそるるに足りません。